2010年长江师范学院专升本考试《高等数学》复习资料 陈强编
5）对角矩阵：主对角线上的元素为任意常数，其它元素都是 0的矩阵就称为对角矩阵．
6）三角矩阵：主对角线下方元素全为零的方阵称为上三角矩阵；主对角线上方元素全为零的方阵称为下三角矩阵，上、下三角矩阵统称为三角矩阵． 7）对称阵与反对称阵：A?A，A??A． 8）方阵的行列式：A或degA．
例6-3 A为三阶方阵，且A=3，则?2A?(?2)3A??8?(?3)?24． ②矩阵的运算
1）相等：同型矩阵A?B?aij?bij； 2）加减法：C?(cij)mn?(aij?bij)mn?A?B； 3）数乘：A?(aij)mn,k?P，kA?(kaij)mn；
4）乘法：设A?(aij)m?k,B?(bij)k?n，则s?n矩阵C?(cij)m?n，称为A与B的积，其中
TTcij?ai1b1j???aikbkj??ailblj，i?1,2,?,m，j?1,2,?,n．记为 C?AB．
l?1k5）转置：A或A?． ③运算性质
1）加法：A?B?B?A；A?0?A；A?(B?C)?(A?B)?C；A?(?A)?0． 2）数乘：1?A?A；(k?l)A?kA?lA；k(A?B)?kA?kB；k(lA)?(kl)A．
T(AB)C=A(BC)；A(B?C)?AB?AC；(kA)B?A(kB)?k(AB)． 3）乘法： ?5?1??40?16????307?20???????1845?． 例6-4 ?1253????47???????371?2????23?2???13?4）转置：(A?)??A；(A?B)??A??B?；(kA)??kA?；(AB)??B?A?．
④注意
1）AB?2B?(A?2E)B，ABC?AC?A(B?E)C；2）只有方阵才有矩阵的幂A；3）矩阵乘法不满足交换律即AB?BA，也不满足消去律即由AB?0推不出A?0或B?0．
n5．理解矩阵的逆矩阵及矩阵的秩的概念．
①逆矩阵：A可逆（或非奇异的，非退化的，满秩的）
1）定义 设A为n级方阵，若有n级方阵B，使AB?BA?E，则称A为可逆矩阵，B为A的逆矩阵．注：若A可逆，则A的逆唯一，记为A；E- 45 -
?1?1?E．
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?1?12）性质：且(A')?1?(A?1)'；(AB)?1?B?1A?1；(A1A2?Am)?1?AmAm?1?A1?1；A可逆?A可逆，
'(A?1)?1?A;(kA)?1?②矩阵的秩
1?111?A；A?1?;A?1?A． kAA1）定义1 矩阵的行秩＝矩阵的行向量组的秩；矩阵的列秩＝矩阵的列向量组的秩．矩阵的行秩与矩阵的列秩统称为矩阵的秩，记作r(A)．
2）定义2 矩阵A的最高阶不等于0的子式的阶数r叫做A的秩，记为r(A)?r． 3）定理 n阶方阵A的秩r(A)?n?A?0，即A可逆．
4）性质：r(AT)?r(A)；k?0,r(kA)?r(A)；r(A)?min(m,n)；r(A?B)?r(A)?r(B)；
r(AB)?min(r(A),r(B))；若A可逆，则r(AB)?r(B),r(BA)?r(B)．
6．掌握求矩阵的逆和秩的方法．
①逆矩阵的求法（伴随矩阵法、初等变换法、定义法、分块法、解方程组法等）
?A11?A112*?11）伴随矩阵法：A?A?，其中A?为A的伴随矩阵；A????A??A1n伴随矩阵A的性质：AA?AA?AE；(kA)??kn?1A?；(A)?
A21?A22?A2nAn1??An2???adjA． ?????Ann?1 A；(A?)T?(AT)?；
A????1?(A?1)??A??An?1,(A?)??An?2?n,r(A)?nA；r(A?)???1,r(A)?n?1．
?0,r(A)?n?1??1?E??A?作初等行变换??E?A?或???????????????????????2）初等变换法：?A?E??????????????????????作初等列变换???1?．
E???A?3）定义法：若AB?BA?E，则A可逆．
?111????1例6-5 用伴随矩阵法求矩阵A?022的逆A．
????003??22020211解：A?6?0，A11??6，A12???0，A13??0，A21????3，
03030003A22?1111111111?3，A23???0，A31??0，A32????2，A33??2． 0300220202- 46 -
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0??6?30??1?121???012?13?． ??1?A?所以A?03?2，因此A?????A??013??002???0??02?1???的逆A?1．
12例6-6 用初等变换法求矩阵A?1?????1?1?1???02?1100??02?1100??020111?????112010???1100?1?2?
12010解：1?????????1?1?1001????001011????001011???100?12?32?52???12?32?52??，所以A?1??12?．
??0101212121212??????011?11??001??0?例6-7 已知A满足A?2A?E?0，试证：A可逆并求A．
证明：A2?2A?E?0?2A?A2?E?A(2E?A)?E，所以A可逆且A?2E?A． 例6-8 若A?A，试证：A?E可逆并求(A?E)?1．
证明：A2?A?A?A2?0?A?A?A2?A?2E?2E?2(A?E)?A(A?E)?2E ?(2E?A)(A?E)?2E?(E?所以A?E可逆且(A?E)?12?12?1A)(A?E)?E． 2?E?A． 2练习6-1：求下列矩阵的逆
7?3??11?1??3?3?45??,B???2?52?,C??2?31?．
A??210??????????1?10????4?103???3?5?1???011??59?1???829?11?1??,B?1???2?30?,C?1???518?7?． ?101?2参考答案：A??????3??????32?1???02?1???1?31??②矩阵的秩的求法：1）初等变换法；2）定义法；3）行列式法．
用初等变换法求矩阵的秩是简便适用的方法，后两种方法较复杂，计算量大．例如
001??12001??1?12?06??06??024102410??????A???1113616??093615??0?????1?19?7?14?340?21?7?14?35?????07．掌握矩阵的初等变换．
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2300010002001?5??,?r(A)?2． 0??0? 2010年长江师范学院专升本考试《高等数学》复习资料 陈强编
①定义 矩阵的行（列）初等变换是指下列三种变换： 1）互换矩阵中的两行（列）的位置； 2）用一个非零的数k乘矩阵的某一行（列）；
3）用数k乘矩阵的某一行（列），然后加到另外的行（列）上． 矩阵的行初等变换与列初等变换统称为矩阵的初等变换．
②矩阵A经过一系列初等变换得到B，称A与B等价，记为A?B． ③单位矩阵E经过一系列初等变换得到的矩阵称为初等矩阵．
④n阶矩阵A可逆?A?0?r(A)?n?A?PP12?Ps,Pi是初等矩阵． ⑤经初等变换后矩阵的秩不变．
8．掌握齐次线性方程组有非零解的充分必要条件，掌握非齐次线性方程组解的结构和判定．
（1）齐次线性方程组AmnX?0
①齐次线性方程组有非零解的充分必要条件
1）齐次线性方程组有非零解?r(A)?n；2）当m=n时，AmnX?0有非零解?A?0； 3）当m?n时，AmnX?0必有非零解；4）AnnX?0只有零解?A?0?A可逆．
②解向量的性质
1）可加性：若?1,?2是AX?0的解，则?1??2也是AX?0的解． 2）齐次性：若?是AX?0的解，?k?R则k?也是AX?0的解．
③基础解系
定义1 齐次线性方程组AX?0的解空间的基底?1,?2,?,?t称为AX?0的一个基础解系． 定义2 AX?0的一组解向量?1,?2,?,?t如满足：1）?1,?2,?,?t线性无关；2）AX?0的任一解向量都可以由?1,?2,?,?t线性表出．则向量组?1,?2,?,?t称为AX?0的一个基础解系．
④解空间：由AX?0的一个基础解系?1,?2,?,?t所生成的向量空间称为AX?0的解空间，记为V?{???k1?1???kt?t,ki?R,i?1,2,?,t}．
⑤AX?0的通解：如?1,?2,?,?t是AX?0的一个基础解系，则对任意常数k1,k2,?,kt有
k1?1???kt?t是AX?0的解，称这种形式的解为AX?0的一般解或通解．
⑥定理：设AX?0的r(A)?r?n，则AX?0的基础解系由n?r个解向量构成． （2）非齐次线性方程组AX??
①导出组：AX?0称为与AX??对应的（导出的）齐次线性方程组，简称导出组或对应组．
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