一元二次方程是在一元一次方程及分式方程的基础上学习的，一元二次方程根与系数的关系以及一元二次方程的应用是中考的重点。题型多样，一般分值在6－9分左右。
考点1：一元二次方程及其解法
例1：方程x?3x?2?0的解是（ ）
A．x1?1，x2?2 B．x1??1，x2??2
C．x1?1，x2??2 D．x1??1，x2?2
思路点拨：考查一元二次方程的解法，一元二次方程的解法有：一是因式分解法；二是配方法；三是求根公式法．此题可以用此三种方法求解，此题以因式分解法较简单，此式可以分解为（x－1）(x－2)=0,所以x－1=0或x－２=0，解得x１=１，x２=２．故此题选Ａ．
2x2?x?23例2：若x?x?2?0，则2的值等于（ ） 2(x?x)?1?32A．23 3 B．3 3C．3 D．3或3 3思路点拨：本题考查整体思想，即由题意知x2－x=2,所以原式=
2?2322?1?3?23，选A. 3考点2：一元二次方程的根与系数的关系
2例1：如果x1,x2是方程x?2x?1?0的两个根，那么x1?x2的值为：
（A）－1 （B）2 （C）1?2 （D）1?2
思路点拨：本题考查一元二次方程ax?bx?c?0的根与系数关系即韦达定理，两根之和是?是
2b， 两根之积ac，易求出两根之和是2。答案：B a2例2：设一元二次方程x?7x?3?0的两个实数根分别为x1和x2，
则x1?x2? ，x1、·x2 ．
思路点拨：本体考查一元二次方程根与系数的关系，x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根，则x1、
+x2=?bc，x1、·x2=.要特别注意的是方程必须有实数根才能用这一结论，即△=b2－4ac≥0.
aa答案：7，3
考点3：一元二次方程的应用
例1：某商品经过两次连续降价，每件售价由原来的55元降到了35元．设平均每次降价的百分率为x，则下列方程中正确的是（ ）
A．55 (1+x)2=35 B．35(1+x)2=55 C．55 (1－x)2=35 D．35(1－x)2=55
思路点拨： 列一元二次方程解决实际问题是一个难点，但在中考试题中经常出现，所以我们要学好列方程解决实际问题。则需要在这方面加大训练力度。列方程的全过程，其步骤如下：
1、弄清题意，正确理解，准确把握题目条件中的数量关系，必要时可用图表辅助分析； 2、用字母表示问题中的一个未知数；
3、将题设条件中的语句都“翻译”成含有“字母”的代数式； 4、寻找等量关系，列出方程.
因为增长率问题是“加”；下降率问题是“减”，所以本题正确的是55 (1－x)2=35.所以本题选C.
不等式及不等式组 不等式及不等式组，它是在学习方程的基础上进行学习的，不等式的性质和应用在中考中有着比较广泛的出现，分值在3-6分左右，经常与一次函数相结合，考查最值问题或者方案设计。
考点1：不等式及其性质
例1：已知有理数a、b在数轴上对应的点如图1所示，则下列式子正确的是（ ）．
A．ab?0 B．a?b
· · · 0 a 1 C．a?b?0 D．a?b?0
思路点拨：由图1可知：0
· · b ? 1
10
x例2：已知关于x的不等式2＜(1?a)x的解集为x＜
2，则a的取值范围是（）． 1?aA．a＞0 B.a＞1 C.a＜0 D.a＜1
思路点拨：对照两个不等式可以发现，已知不等式左、右两边经过变形后位置发生了改变（即２在原不等式的左边，经过变形后在右边，含x的项在已知不等式的右边，经过变形后在左边），因此应先将2＜(1?a)x变形为
(1?a)x＞２，再根据不等式的性质确定a的取值范围．
以一个数，要根据
分母中所含的小数来确定，原则上既要使分母化成整数，又要使所乘的数尽可能地小.
15x?35?2(x?0.5)?5x?10 . 2两边同乘以2得 15x?35?4(x?0.5)?10x?20. 去括号、移项、合并同类项得 x?53.
解：由不等式变形得
考点3：解不等式组 例：解不等式组
– 3（x + 1）–（x – 3）＜8 ， ①
2x + 11 - x
– ≤ 1 ② 的解集应为（ ） 32
2
A．x＜ – 2 B．– 2＜x≤ C．– 2＜x≤1 D．x＜– 2或x≥1
7
思路点拨：先求出每个不等式的解集,再找出解集的公共部分即为不等式组的解集。不等式组的解集最终可化为四种类型：①x>a；②x 解：解不等式①，得x>－2。 解不等式②，得x≤1。 所以不等式组的解集为－2 例：学校为家远的同学安排住宿，现有房问若干间，若每间住5人，则还有14人安排不下；若每间住7人，则有一间房有人住但还余床位．问学校可能有几间房间可以安排同学住宿?住宿的学生可能有多少人? 思路点拨：由于题目中既不知道有多少房间也不知道有多少住宿的学生，因而感到此题无法处理．但注意到： 11 若每间住5人，则还有14人安排不下，可设学校有房问x间从而可知住宿的学生有(5x+14)人；然生再根据每问住7人，未住满．可以列出不等式． 解：设学校有房间x间，则可住宿的学生有(5x+14)人． 依题意，得7?(x-1)<(5x+14)<7x，7 第二关：难点攻克 ●难点透视 例1解方程： x24??2 ． x?1x?1x?1【考点要求】本题考查了分式方程的解法． 【思路点拨】去分母将分式方程转化为整式方程是解分式方程的基本方法，验根只需将结果代入最简公分母即可． x242??方程两边都乘以(x?1)(x?1)，去分母并整理得x?x?2?0，x?1x?1(x?1)(x?1)解这个方程得x1?2,x2??1．经检验，x?2是原方程的根，x??1是原方程的增根．∴原方程的根是x?2． 【答案】x?2． 原方程变形为 【方法点拨】部分学生在解分式方程时，往往不能拿到全部分数，其中很多人是因为忘记检验．突破方法：牢牢记住分式方程必须验根，检验这一步不可缺少． 22??4x?y?0,例2? 2??x?xy?3?0.【考点要求】本题考查用消元法解二元二次方程组． 【思路点拨】解方程组的基本思路就是消元和降次，要根据方程组的特点选取适当方法． 22?①?4x?y?0,由方程①可得?2x?y??2x?y??0， ?2?②?x?xy?3?0.∴2x?y?0,或2x?y?0.它们与方程②分别组成两个方程组： ?2x?y?0?2x?y?0 ?2?2?x?xy?4?0?x?xy?4?0?2x?y?0解方程组?2可知，此方程组无解； ?x?xy?4?0?2x?y?0?x1?2?x2??2解方程组?2得? ?x?4y??4x?xy?4?0?2?2?所以原方程组的解是?【答案】??x1?2?x2?4?x2??2 ?y??4?2?x1?2?x2?4?x2??2 ??y2??4【规律总结】少数学生未能掌握二元二次方程组的基本解题思路，不知如何处理．突破方法：将第一个方程通过因式分解，得到两个一次方程，再分别与第二个方程组成两个新的方程组，求解． 解题关键：解二元二次方程组的基本解题思想是消元，即化二元为一元．常用的方法就是通过因式分解进行降次，再重新组成新的方程组求解，所求得的结果即为原方程组的解． 例3下列一元方程中，没有实数根的是（ ） 2A．x?2x-1?0 B．x?22x?2?0 2C．x?2x?1?0 D．?x?x?2?0 【考点要求】本题考查一元二次方程根的判别式． 【思路点拨】根据?b?4ac，确定好选项方程中的各项的系数及常数项，代入根的判别式进行计算，如果所求结果非负，则有实数根；否则没有实数根． 12 222C选项中?b?4ac?(2)?4?1?1??2＜0，方程无实数根． 【答案】选C． 【错解分析】出现错误的学生主要是两原因：一是根的判断式未能记牢，出现使用错误，二是在确定各项系数和常数项时，弄错符号，导致计算错误．突破方法：将一元二次方程化为一般式后，再确定系数及常数项． 解题关键：根据?b?4ac可知，若二次项系数与常数项异号，则方程必有实数根，从而缩小解题范围． 2例4用换元法解分式方程x2?x?1?2时，如果设y?x2?x，那么原方程可化为关于y的一元二次方程的 x?x一般形式是 ． 【考点要求】本题考查利用换元法将分式方程转化为整式方程． 【思路点拨】整体代换（换元法）也是我们解方程常用的方法之一，它在解方程中起到消元、降次简化运算的作用． 2把y?x2?x代入原方程得，y?1?，即y2?y?2?0，故答案应填写y2?y?2?0． y【答案】y2?y?2?0． 【方法点拨】整体换元要求原方程具备一定结构特点，如果不具备，必须设法通过变形化出相同或者相关的形式再进行换元． 例5若不等式组?222?2x?3x?3的正整数解只有2，求a的整数值． ?3x?a??6【考点要求】本题考查解不等式组及不等式组的解集等知识的综合运用． 要求a的值，可先求出不等式组中的各不等式的解集，再根据不等式组的正整数解只有2，列出关于a的不等式组，进而求出a的值． ?x?3?2x?3x?3?，解得??a?6． x??3x?a??6?3?又∵原不等式组只有正整数解2． a?6?2． 3∴9?a?12,∴a?9,10,11. 【答案】a?9,10,11. 由右图，应有1?【误区警示】部分学生解出不等式组的解集后，不知如何运用“正整数解只有2”这一条件．突破方法：用含a的代数式表示不等式组的解集，结合数轴表示出不等式组的解集，再转化为关于a的不等式组，求出a的值． 例6如图甲是某学校存放学生自行车的车棚的示意图（尺寸如图所示），车棚顶部是圆柱侧面的一部分，其展开图是矩形．图乙是车棚顶部截面的示意图，弧AB所在圆的圆心为O． 车棚顶部是用一种帆布覆盖的，求覆盖棚顶的帆布的面积（不考虑接缝等因素，计算结果保留?）． 2米 A B 43米 B A 60米 O · 图甲 图乙 【考点要求】本题考 查用方程解几何问题，方程是解决几何有关计算问题的有效的方法和工具，通常结合勾股定理的形式出现． 【思路点拨】连结OB，过点O作OE⊥AB，垂足为E，交弧AB于F，如图． 由垂径定理，可知：E是AB中点，F是弧AB中点， F 1∴EF是弓形高 ∴AE=AB?23，EF=2． 2A B 设半径为R米，则OE=(R－2)米． E 在Rt△AOE中，由勾股定理，得 R 2=(R?2)2?(23)2．解得R =4． O · 13