【考点要求】本题考查多项式的求值运算，不仅考查了学生整式乘法运算，同时还要求具备整体思想，这也是数学解题中常用的一种技巧．
【思路点拨】原式按多项式乘法运算后为ab?2(a?b)?4，再将a?b?m,ab??4代入，可得－2m． 【答案】选D．
【方法点拨】部分学生想通过由已知条件求出a、b的值，然后再代入求值，一种情况是无法解得结果，另一种是会用含m的式子表示a、b，但解题过程较繁琐，且容易出错．突破方法：运用整体思想解题，能发现原式乘开后可用含a?b和ab的式子表示，再将已知条件代入即可．
解题关键：许多类似的求代数式值的问题，往往不是直接将字母的值代入，而是利用整体代入求值．
例8如图1-2，时钟的钟面上标有1，2，3…12共计12个数，一条直线把钟面分成了两部分，请你再用一条直线分割钟面，使钟面被分成三个不同的部分且各部分所包含的几个数的和都相等，则其中的两个部分所包含的几个数分别是 【考点要求】本题考查对数字的观察及推理能力．
【思路点拨】钟面上的数字之和为78，依题意，三部分之和相等，则每部分之和只能为78÷3=26，而图中钟面上的1、2、11、12之和已经为26，所以所画的这条线只能在图中这条直线的下方，即过4和5，8和9之间画直线． 【答案】3、4、9、10，5、6、7、8．
【误区警示】本题部分学生不知从何处入手，或者漫无目标的尝试去画，这
图1-2 样费时较多，而且容易达到目标．突破方法：仔细阅读，认真分析，理清题
意可减少尝试分割的次数．
111例9我们把分子为1的分数叫做单位分数．如2，3，4…，任何一个单位分数都可以拆分成两个不同的单位分数
111111111??????的和，如236，3412，4520，…
111??5?，请写出□，○所表示的数； （1）根据对上述式子的观察，你会发现
111??n（2）进一步思考，单位分数（n是不小于2的正整数）＝，请写出△，⊙所表示的式，并加以验证．
【考点要求】本题考查学生对新信息的理解与运用．
【思路点拨】通过对三组式子的观察，不难找出规律．等式右边的第一个分母是左边的分母加1，第二个分母是前两个分母的乘积，如果设左边的分母为n，则右边第一个分母为（n＋1），第二个分母为n（n＋1）．所以问题（1）中，□表示的数为6，○表示的数为30；问题（2）中，△表示的式为n?1，⊙表示的式为n(n?1)．
n?1111n1?????n?1n(n?1)n(n?1)n(n?1)n(n?1)n，所以上述结论成立．
验证：【答案】（1）□表示的数为6，○表示的数为30；（2）△表示的式为n?1，⊙表示的式为n(n?1)．
【方法点拨】部分学生不能看出题目已知条件中所反映出的规律．突破方法：对比已知的三个式子，进行比较分析，可以看出每个等式中的各个分子都是1，而分母也特殊关系，得到这些信息后，完成解题不再困难．
解题关键：当题中有一组并列条件时，往往将它们放在一起进行观察、比较、分析，从中发现重要信息． 例10阅读下面的材料，回答问题：
点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为设点A在原点，如图1-3，
AB．当A、B两点中有一点在原点时，不妨
AB?OB?b?a?b；当A、B两点都不在原点时：
；
（1）如图1-4，点A、B都在原点的右边，
O（A） 0
图1-3
AB?OB?OA?b?a?b?a?a?bB b
2
O 0
A a 图1-4
B b
（2）如图1-5，点A、B都在原点的左边， （3）如图1-6，点A、B在原点的两边，
B b
图1-5
AB?OB?OA?b?a??b?(?a)?a?b?a?b．
；
AB?OA?OB?a?b?a?(?b)?a?b?a?bO 0
A a
B b
O 0
图1-6
A a
综上，数轴上A、B两点之间的距离． 回答下列问题：
（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ；数轴上表示－2和－5的两点之间的距离是 ；数轴上表示1和－3的两点之间的距离是 ． （2）数轴上表示x和－1的两点A和B之间的距离是 ．如果【考点要求】本题通过阅读材料，引出数轴上两点A、B的距离公式
读材料，获取新的信息和结论，然后应用所得结论，解答新问题的能力． 【思路点拨】依据阅读材料，所获得的结论为
AB?a?bAB?2，那么x= ．
AB?a?b，再引出相关问题，考查学生阅
AB?a?b，结合各问题分别代入求解．（1）
2?5?3,?2?(?5)?3,1?(?3)?4或x?1??2．所以x?1或x??3．
；（2）AB?x?(?1)?x?1；因为
AB?2，所以
x?1?2，所以x?1?2【答案】（1）3，3，4；（2）x?1或x??3．
【误区警示】部分学生因为题目较长，阅读能力稍差的同学不易找出正确结论解题．突破方法：反复阅读材料，从中获取重要结论，帮助解题． ●难点突破方法总结
实数是初中数学基础知识，中考试题中的实数问题各种题型都会涉及到，在解决实数问题时，要注意以下几点： 1.要准确掌握各个概念．概念是组成数学知识的基本元素．实数一章中的概念较多，基础性强，对后续学习影响大，不少概念还含有运算性质．如相反数、倒数、绝对值、算术平方根、负整数指数幂、科学记数法等，所以必须要弄清各个概念的区别或者联系，防止应考过程中出现混淆．
2.要熟练各种运算．明白各种运算法则和运算性质，要通过一定量的练习使实数的有关运算形成一定的运算技能． 3.在解答有关实数的选择题、填空题和计算题时，一般采用直接求解法．对于体现创新意识的探索规律型问题，可采用图示、猜想、归纳、计算验证等各种方法．
整式和分式是代数中的重要内容，填空、选择题以基本概念为主，而解答题则以化简、求值为主．一般要注意如下内容：
1.要准确理解和辨析单项式次数、系数、同类项，分式的通分和约分、最简分式等概念的内涵．特别要关注简单整式和分式的运算．
2.运用公式或法则进行计算，首先要判断题目是否具备某一公式或者法则的结构特征，在此基础上正确选用公式或法则进行计算．
3.灵活运用分式的基本性质、变号法则、因式分解、整体变换等解题技能进行分式的约分和通分运算． 4.充分关注数形结合思想、整体思想、分类讨论思想，在整式和分式变换求值中的应用．
5.此外，试题呈现的背景贴近生活，贴近社会，而不再是拘泥于抽象的纯数学问题，因而要求学生要学会观察、分析、猜想、验证、表达等基本的解决辨别及解决问题的能力和策略．
3
第三关：五年真题剖析与规律总结
2009年
1的相反数是（ D） 31A．3 B． C．?3
31．
D．?
133．今年6月，南宁市举行了第五届泛珠三角区域经贸合作洽谈会.据估算，本届大会合同投资总额达2260亿元.将2260用科学记数法表示为（结果保留2个有效数字）（ A ） A．2.3?103 B．2.2?103 C．2.26?103 D．0.23?104 14．计算：ab??22?a ．a3b2
18．正整数按图8的规律排列．请写出第20行，第21列的数字 ．420
第一列 第二列 第三列 第四列 第五列
… 1 2 5 10 17 第一行 … 4 3 6 18 第二行 11 … 9 8 7 12 19 第三行 … 16 15 14 20 第四行 13
… 25 24 23 22 21 第五行
……
图8
20．先化简，再求值：
1?1?1????x?2?，其中x?2 ??2?x?1?x?1
2008年
1． （2008年?南宁市）6的倒数是：
（A）
11 （B）? （C）6 （D）―6 66答案：A
解析：本题考查倒数的概念，乘积是1的两个数互为倒数，故选A。 2． （2008年?南宁市）下列运算中，结果正确的是：
（A）a3?a3?a （B）a2?a2?a4 （C）(a)?a （D）a?a?a2 答案：D
解析：本题考查幂的运算和整式的加减，A是同底数幂数相除，底数不变，指数相减，应是a0，B是合并同类
6项，C是幂的乘方，底数不变，指数相乘，应是a，D是同底数幂相乘，底数不变，指数相加，故D正确。
9．（2008年?南宁市）2008年北京奥林匹克运动国家体育场“鸟巢”钢结构的材料，首次使用了我国科技人员自主
研制的强度为460000000帕的钢材，该数据用科学记数法表示为 帕
答案：4.6?10
解析：本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法是指把一个数写成a?10（其中1?a?10，n是整数）的形式，其中10的指数就是原数的整数位数减去1即可。
313．（2008年?南宁市）因式分解：x?x?
答案：x(x?1)(x?1)
解析：分解因式一般遵循“先看有无公因式，再看能否套公式，切记分解要彻底”的原则进行。本题可先提公
2因式x，分解成x(x?1)，而x?1可利用平方差公式分解成(x?1)(x?1)。
n83252
4
2007年
1．写出一个小于?2的数： ．?3（答案不唯一）； 4．因式分解：2x2?4x?2? ．2(x?1) 11．实数a，b在数轴上的位置如图5所示， 则下列各式正确的是（ C ） A．a?b B．a??b C．a?b D．?a??b 20．先化简，再求值：
2a 0 图5
b 1(a2b?2ab2?b3)?b?(a?b)(a?b)，其中a?，b??1．
22222原式?a?2ab?b?(a?b) ········································································ 4分
?a2?2ab?b2?a2?b2 ······························································· 5分 ??2ab ····················································································· 6分
1，b??1代入上式得 21 原式??2??(?1)·················································································· 7分
2 ?1 ······································································································· 8分
将a?
2006年
4．今年秋季，广西将有一百三十余万名义务教育阶段的贫困学生享受到国家免费教科书政策，预计免费教科书发放总量为1500万册，发放总量用科学记数法记为 万册（保留2个有效数字）．1.5?103 9．如图3，A是硬币圆周上一点，硬币与数轴相切于原点O（A 与O点重合）．假设硬币的直径为1个单位长 度，若将硬币沿数轴正方向滚动一周，点A恰 好与数轴上点A?重合，则点A?对 应的实数是 ．?
2005年
１．2005? ．2005
２．因式分解：x2?4? ．(x?2)(x?2)
３．按照广西高速公路网的规划，我区地方高速公路于2030年全部建成，建设里程为5353
公里，总投资达1542.7亿元．用科学记数法表示总投资为 亿 ．
31.5?10元（保留两位有效数字）． ．
12．分式
）
11?计算的结果是（ D ） ab12(A)b?a (B) (C)
a?ba?b (D)
a?b ab
5