(II)若x?0时，f?x??a与x是同阶无穷小，求常数k的值.
k(16)(本题满分 10 分)
求函数f?x,y??xe?x2?y22的极值.
(17)(本题满分12分)
过(0,1)点作曲线L:y?lnx的切线,切点为A,又L与x轴交于B点,区域D由L与直线AB围成,求区域D的面积及D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积. (18)(本题满分 10 分)
计算二重积分
??xyd?，其中区域D为曲线r?1?cos??0?????与极轴围成.
D(19)(本题满分10分)
已知函数f(x)满足方程f??(x)?f?(x)?2f(x)?0及f??(x)?f(x)?2ex,
(I) 求f(x)的表达式;
(II) 求曲线y?f(x2)?f(?t2)dt的拐点.
0x(20)(本题满分10分)
1?xx2?cosx?1? 证明xln,(?1?x?1). 1?x2(21)(本题满分10 分)
(I)证明方程xn+xn-1??1??x?1?n?1的整数?，在区间?,1?内有且仅有一个实根；
?2?n??(II)记(I)中的实根为xn，证明limxn存在，并求此极限. (22)(本题满分11 分)
?1?0设A???0??aa1000a100??1????0??1，????
?0?a????1??0?(I) 计算行列式A；
(II) 当实数a为何值时，方程组Ax??有无穷多解，并求其通解. (23)(本题满分11 分)
?101???011?，二次型f?x1,x2,x3??xT?ATA?x的秩为2， 已知A????10a???0a?1??(I) 求实数a的值；
(II) 求正交变换x?Qy将f化为标准形.
2011年考研数学试题（数学二）
一、选择题
1.已知当x?0时，函数f(x)?3sinx?sin3x与cxk是等价无穷小，则 A k=1,c=4 B k=a, c=-4 C k=3,c=4 D k=3,c=-4 2.已知f(x)在x?0处可导，且f(0)?0,则A?2f?(0) B?f?(0) Cf?(0) D0
3.函数f(x)?ln(x?1)(x?2)(x?3)的驻点个数为 A0 B1 C2 D3
4.微分方程y???2y?e?x?e??x(??0)的特解形式为 A
limx?0x2f(x)?2f(x3)? 3xa(e?x?e??x) Bax(e?x?e??x)
?x??xCx(ae?be) Dx2(ae?x?be??x)
5设函数f(x)具有二阶连续导数，且f(x)?0,f?(0)?0，则函数z?f(x)lnf(y)在点（0，0）处取得极小值的一个充分条件
Af(0)?1,f??(0)?0 Bf(0)?1,f??(0)?0 Cf(0)?1,f??(0)?0 Df(0)?1,f??(0)?0 6.设I???40lnsinxdx,J??lncotxdx,K??lncosxdx则I、J、K的大小关系是
44??00A I ?100??100?????P1??111?,P2??001?,??记?000???010??则A= AP1P2 BP2P1 DP1P2 CP2P1 ?1?1*8设A?(?1,?2,?3,?4)是4阶矩阵，A是A的伴随矩阵，若(1,0,1,0)T是方程组Ax?0的一个 基础解系，则Ax?0的基础解系可为 A?1,?3 B?1,?2 C?1,?2,?3 D?2,?3,?4 二、填空题 *1?2xx)? 9.lim(x?0210.微分方程y??y?e?xcosx满足条件y(0)?0的解y? 11.曲线y?1?x0tantdt(0?x??4)的弧长s=____________ ??12.设函数f(x)????,x?00,x?0,??0 ，则?xf(x)dx? ??13.设平面区域D由y=x,圆x2?y2?2y及y轴所组成，则二重积分 222??xyda?________ D14.二次型f(x1,x2,x3)?x1?3x2?x3?2x1x2?2x1x3?2x2x3，则f的正惯性指数为________________ 三、解答题 15.已知函数F(x)??x0ln(1?t2)dtx?F(x)?0，试求?的取值范围。 ，设limF(x)?lim?x???x?01t3?t??x?133?16.设函数y=y(x)有参数方程y?1t3?t?1，求y=y(x)的数值和曲线y=y(x)的凹凸区间及拐点。 ?3317.设z?f(xy,yg(x))，其中函数f具有二阶连续偏导数，函数g(x)可导，且在x=1处取得极 ?2z值g(1)=1,求 ?x?yx?1,y?1 18.设函数y(x)具有二阶导数，且曲线l:y=y(x)与直线y=x相切于原点，记?是曲线l在点（x,y) d?dy?，求y(x)的表达式。 dxdx111?ln(1?)? 19.证明：1）对任意正整数n，都有 n?1nn外切线的倾角 2）设an?1?11????lnn(n?1,2,?),证明{an}收敛。 2n20.一容器的内侧是由图中曲线绕y旋转一周而成的曲面，该曲面由 11x2?y2?2y(y?),x2?y2?1(y?)连接而成。 22（1）求容器的容积。 （2）若从容器内将容器的水从容器顶部全部抽出，至少需要多少功？（长度单位：m；重力加速度为gm/s2；水的密度为103kg/m3） 21.已知函数f(x,y)具有二阶连续偏导数，且f(1,y)=0,f(x,1)=0, ??f(x,y)dxdy?a，其中 DD?{(x,y)0?x?1,0?y?1}，计算二重积分I???xy?xy(x,y)dxdy。 D?22. X P Y P -1 1/3 0 1/3 0 1/3 1 1/3 1 2/3 P(X2?Y2)?1 求：（1）（X，Y）的分布；（2）Z=XY的分布；（3）?XY ?11???11?????23.A为三阶实矩阵，R(A)?2，且A?00???00? ??11??11?????（1）求A的特征值与特征向量；（2）求A 2010年全国硕士研究生入学统一考试数二试题解答 一、选择题（1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一项符合题 目要求的，把所选项前的字母填在答题纸指定的位置上） x2?x1f(x)?21?2x?1x的无穷间断点数为（ ） （1）函数 （A）0 （B）1 （C） 2 （D）3