解上方程式即可得共振工况下第一质量的实际振幅A1，再根据自振频率计算表可得各质量的共振振幅值及轴段的应力值。上述利用能量平衡式求解共振振幅的经典方法，其精度受到阻尼功精度的影响，而阻尼功精度取决于大量实验资料，由于实验上的难度，影响了这方面工作的进展，因此，试验工作相对容易的放大系数法被广泛的用来求解强迫振动的共振振幅值。
4.3 放大系数法求解共振振幅
本方法的基本思路和假定条件与能量法一样，方法要点有：（1）根据干扰功和阻尼功相等为条件，运用放大系数概念，设法求得第一质量的共振振幅A1。（2）用所得A1值和自由振动所得的振型图（即?k值 ），推算出各质量的实际共振振幅。 Ak(Ak?A1?k)以及求出各轴段上应力?k,k?1(?k,k?1??0A1，?0为应力标尺）
对于两端自由的轴系所简化的多质量系统，在干扰力矩作用下，实际振幅与一个所谓平衡振幅A0之比称为系统的放大系数。为了计算方便，一般以第一质量为讨论对象，即第一质量实际振幅与第一质量平衡振幅之比称为该系统的放大系数m?A1。 A01平衡振幅是将干扰力矩作静力距作用在系统上，两系统按能量平衡的关系产生的振动所具有的振幅 。
由于假设系统处于静力矩作用，因而可忽略阻尼的影响。即多质量系统在无阻尼情况下受静态干扰力矩Mv作用。这时干扰力矩所作的功完全由系统势能（弹性变形能）平衡。
第K质量处的弹性势能为：
111222uK,K?1AK?KK,K?1AK?IK?nAK （4-12） 222式中： KK,K?1尾轴段刚度。因此，多质量系统的弹性势能因等于
122z2 ?nA1?IK?K2k?1当多缸机干扰力矩作为静力矩作用在系统上时，每一循环做功的平均值为
zz11?MvA1??k?MvA1??k 2?2k?1k?125
于是可得
Mv??k2?n?Ik?k2k?1k?1nzA01? （4-13）
由此可知，平衡振幅是无阻尼振动振型下，以?次干扰力矩幅值作静力矩，按能量平衡关系求得的振幅值。显然，平衡振幅不是一个常数，不同质点处都不同。
根据放大系数定义，推进轴系模化的多质量系统第一质量实际振幅值为：
A1?A01m0
而柴油机放大系数me
me??I?kk?1zk?1n2k （4-14）
a?Ik?k2式中： a为阻尼因子，一般a=0.04,对直列式柴油机轴系双结和三结振动 a=0.025， z 为气缸数， n 位质点数。 轴段放大系数mh
??mh?n2n?I?kk?1n2k30.032?(?k??k?1)ek,k?1k?s （4-15）
?k?n为除曲轴及弹性联轴器等弹性元件以外的所有轴段（k=s，即飞轮）n为质
点数，?n为系统自振频率。
螺旋桨放大系数mp
vnmp?3c?I?kk?1n2k2p91190aPpa （4-16）
式中： Pp为额定转速时螺旋桨功率
ap为桨相 对振幅， a为系数，一般可取a=30
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如果桨数据齐全时，可根据盘面比，螺距比和力矩系数Ag确定。 则总的放大系数为
11111 ?????m0mimemhmp这样，即可求出A1，再根据振型相似假定，推进装置其它质量的振幅值就可按自由振动计算求得的各质量的相对振幅值?k?Ak而求的，即Ak?A1?k。 A1共振时，第K，K+1质量之间的轴段应力为：
?k,k?1?K?I??iii?1K2wk,k?1A1??0k,k?1A1 （4-17）
式中：A1?Ii?i?2为第K，K+1轴段上受到的弹性力矩，即Holzer表中第五列有
i?1关的数值和第一质量之积。
?oK,K?1为第K，K+1轴段上的应力标尺 wK,K?1为第K，K+1轴段截面模数
4????d1630?? （4-18） wK,K?1?dK,K?1?1??????dK,K?1?????其中dK,K?1 为第K，K+1，轴段直径和轴中孔直径。对曲轴，一般以曲柄销直径为准；对螺旋桨轴，一般以后轴承到前隔舱密封填料函之间的最小直径为准。
经过计算，如果最大共振应力小于“船规”的许用应力，同时振幅也没有超过需用值，则就认为该推进装置是能够安全工作的，计算工作也就到此结束。如果有某谐次共振应力超过需用值，则还要作非共振计算，以便做出扭振应力曲线，了解共振点附近扭振应力情况
4.4 非共振计算
非共振计算的准确性比共振计算更差一些，因为它是在下述3个假定条件下计算的：
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（1）非共振情况下的振型和自由振动相同。
（2）计算时只考虑共振时的某一简谐干扰力矩作用，忽略其它干扰力矩的影响。 （3）非共振情况下阻尼作用和共振时相同。 非共振第一质量振幅和轴段应力，可按下式计算：
222????????nn??2???? A1'?A1??1??Q??n??n?? （4-19）
??c???c???????222????????nn??'2?????? ?K??1?Q?,K?1K,K?1??n??n?? ??c???c??????? （4-20）
式中：A1——共振时第一质量振幅 ?K,K?1 ——共振时轴段应力
n,nc——计算工况时发动机转速和某简谐次共振转速 Q——共振时推进装置放大系数
4.5 临界转速的确定
推进轴系的临界转速在自由振动频率和干扰力矩以求得的情况下就可以计算确定。
根据前面分析，柴油机干扰力矩是复杂的简谐力矩，可分为? =1、2、3???.（二冲程）或?=0.5,1,1.5,2??.. （四冲程）的各种谐次的简谐力矩。某一谐次干扰力矩可表示为Mvsin?v?t??? ，其中?时发动机转速相应的圆频率
??2?n?1??? ，?? 是? 次干扰力矩圆频率，它随发动机转速而线性变化。 60?s?推进装置自振频率和发动机转速无关，只与系统本身参数有关。当干扰力矩频率和推进装置某一自振频率相同时，就发生共振。即，??=?r或 ??=?? 。
通常，把共振工况下相应的发动机转速成为临界转速。未能分得清楚起见，可以称为“某结点次临界转速”。
表示扭振系统临界转速情况的图称为临界转速图。在柴油机工作转速范围内工作
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