式中
R（ω2）--------剩余力矩
?Ji?2Ai -------系统第n-1轴段弹性力矩；
i?1n?1 n-----------------系统惯性圆盘数。
3.3 传递矩阵法 3.3.1 基本概念
传递矩阵法把系统分割为一系列具有简单力学特性的元件（两端、三端或多端元件），振动时系统的状态可用各元件的端点状态矢量表示。各个元件两端点间的状态矢量的关系即各元件的动力特性，用该元件的传递矩阵表示。利用个元件的传递矩阵及系统的边界条件，可求得系统的振动特性。
本方法系扭振中Holzer法和梁的弯曲振动中的Myklestad法发展来的。它十分使用于像轴系扭振系统这样的链式系统。由于它具有简单、灵活、易于编程、对计算机内存要求不高、花费机时较短等优点，是轴系振动分析的基本方法，并得到广泛的应用。
3.3.2 状态矢量
系统扭振时的特征可用元件端点的状态矢量表示。元件端点状态矢量是该端点的状态参数（相互有关系的角位移和力矩）所构成的列阵，其定义为
?A? Zi??? (3-11)
?M?i 式中 Zi------端点i的状态矢量； Ai-------端点i的扭转角位移幅值； Mi-------端点i的扭矩幅值。
为简便计，状态矢量有时 还加一上标（L或R），这时下标i表示元件顺序号，上标L表示左端，上标R表示右端。
3.3.3 元件的传递矩阵
1.惯性元件（匀质圆盘元件）
简谐扭振时，匀质圆盘元件左右端的角位移与扭矩有以下关系：
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AR=ML
MR=ML-ALIω2
其矩阵形式为
?A??1 ????2?M????IR0?1???A??? (3-12) ?M?L故惯性元件的传递矩阵
?1 Ti??2???I0? (3-13) ?1? 式中 ω--------简谐振动圆频率； I-------匀质圆盘元件极转动惯量。 2.弹性元件（无质量转动弹簧元件）
简谐振动时，无质量扭转弹簧左右端的角位移与扭矩有以下关系： AR= AL+ ML/K MR= ML 其矩阵表达式为
A??11?A?k?? ?????? (3-14) ??M??01??M?RL可得其传递矩阵
?11k? Tk??? (3-15)
01??式中 k---------弹性元件刚度。
3.3.4 计算步骤
为使以下阐述具有普遍意义，假设系统是一个具有任意分支的多级分支系统。 所谓多级分支系统是指分支上再有分支系统。在分支系统中可首先选定一个主支，对于船舶推进轴系，通常选定主机——螺旋桨为主支。我们定义：与主支上分支点元件连接的分支称Ⅰ级分支，与Ⅰ级分支上分支电元件相连接的分支称Ⅱ级分支，?依次类推直到B级分支。在船舶推进轴系中，所有边界都是自由端。这样，每出现一个分支，将增加一个自由端，因此，包括ｎ个分支的系统，将有ｎ＋２个边界
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条件。
下面讨论具有Ｂ级分支的多级分支系统无阻尼固有频率计算步骤。 １.支、元件和端点编号
支的编号从Ｂ级支开始，依Ｂ－１，Ｂ－２，?，Ⅱ，Ⅰ级支顺序进行，主支编号在后。
元件编号按编号顺序，从支的自由端算起，分支点元件编在低级支内。 端点编号顺序，从自由端算起。
２.给出某一试算频率值 ３.分支的处理
在扭转振动模型中，分支点元件通常都是惯性元件，这是一个多端元件。其中两端与主支或低级分支相连，其余端点则和高级分支相连。设分支由ｒ个元件组成，并从自由端起依次编号１、２、３、?、ｒ，各元件端点状态矢量与传递矩阵的关系为：
Ｚ１R＝Ｔ１Ｚ１Ｌ
Ｚ２R＝Ｔ２Ｚ２Ｌ＝Ｔ２Ｔ１Ｚ１Ｌ
?????.
ＺｒR＝ＴｒＺｒＬ＝ＴｒＴｒ-１.....Ｔ１Ｚ１Ｌ 令 Ｔ１＝Ｔｒ１ Ｔ２Ｔ１＝Ｔｒ２ ???..
ＴｒＴｒ－１?Ｔ２Ｔ１＝Ｔｒｒ
式中Ｔｒｉ称为第ｉ个元件的累积矩阵，它等于第ｉ个元件到第一个元件传递矩阵依次右乘之积。Ｔｒｒ称为分支的累积矩阵。
分支始端和末端的状态矢量关系可表示为
ZrR?Z1LTrr (3-15) 展开后得
?Tr11Tr12??A??A? ??????M? （3-16） TTM??r?r21?1r22??RL它称为分支的传递方程。
因分支始端为自由端，ＭｒR＝０，则
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??????
? （3-17） 得 Ｋ??
???r21??RrL1Tr21Tr11RreRreTr21Tr11 ＭｒR是分支作用在分支点元件ＪＫ上的扭矩。由上述两式可以看出，分支对ＪＫ的作用如同一线性扭转弹簧，弹簧的等效扭转刚度为ＫＥ，弹簧的另一端是固定端。
再看分支点元件IＫ的传递矩阵。已知 ＡＫR＝ＡＫＬ＝ＡｒR MkRke2L?MkL?Ik?2AkL?keArL?MkL?(Ik??2)?Ak
R1??A?即 ????Ke2?(I?)?M2k??k??于是得到分支点元件ＪＫ的传递矩阵为
0? （3-18） 1??Τ
IB
1?=??(I?KE)?2K?2?0? （3-19） 1??可见，分支对分支点元件的效应如同使该元件的转动惯量减小ＫＥ／ｗ２，即
Ike?Ik??e2k （3-20）
由此可得对分支的处理方法是：从第一支开始，计算每一分支的累积矩阵，从而可计算出分支的等效扭转刚度ＫＥ，再修正它所连接的分支点的转动惯量。如此逐支处理，使分支系统最后化为单支系统，即主支等效系统。
4．计算主支等效系统的累计矩阵?rn 主支左右两端的状态矢量有以下关系
?Tr11Tr12??A??A? ??????M? （3-21）
TTM??n?r21?mr22?n?式中m，n分别为主支左右两端元件的顺序号。 已知?lm?0，则系统的剩余力矩R为：
rlR(?2)?Mn?(Tr21)nAm?(Tr21). （3-22）
RL16