则E（m，﹣m+2）， ∴ME＝﹣m2+2m，
∴当m＝2时，ME取得最大值2， ∴E（2，1），
∴S△ACE＝S△ABC﹣S△ABE＝×5×（2﹣1）＝；
（3）作C′（0，﹣2）与 C关于x轴对称，连接BC′，过点D作DE⊥BC′于点E，
∴∠ABC＝∠ABC′， ∵
＝
，∠AOC＝∠BOC＝90°，
∴△AOC∽△COB， ∴∠ABC＝∠ACO， ∴∠ABC′＝∠ACO，
即∠BAN＝∠ACO﹣∠OBD＝∠DBC′， 由题意得DC′＝1、DB＝∵S△DBC′＝∴DE＝∴BE＝
， ，
＝
，BC′＝2，
，
∴tan∠DBC′＝tan∠BAN＝， 设N（n，﹣n2+n+2），且n＞0，
∴tan∠BAN＝＝＝，
①当2n+2＝9×（﹣n2+n+2）时，n1＝②当2n+2＝﹣9×（﹣n2+n+2）时，n1＝∴N点的坐标为（
，
）或（
，﹣
，n2＝﹣1（舍去）； ，n2＝﹣1（舍去）； ）．
4．抛物线y＝x2+（m+2）x+4的顶点C在x轴正半轴上，直线y＝x+2与抛物线交于A，B两点（点A在点B的左侧）． （1）求抛物线的函数表达式；
（2）点P是抛物线上一点，若S△PAB＝2S△ABC，求点P的坐标；
（3）将直线AB上下平移，平移后的直线y＝x+t与抛物线交于A'，B'两点（A'在B'的左侧），当以点A'，B'和（2）中第二象限的点P为顶点的三角形是直角三角形时，求t的值．
解：（1）∵抛物线y＝x2+（m+2）x+4的顶点C在x轴正半轴上，
∴．
解得m＝﹣6．
∴抛物线的函数表达式是y＝x2﹣4x+4；
（2）如图1，过点C作CE∥AB交y轴于点E，设直线AB交y轴于点H．
由直线AB：y＝x+2，得点H（0，2）． 设直线CE：y＝x+b． ∵y＝x2﹣4x+4＝（x﹣2）2， ∴C（2，0）．
∴2+b＝0，则b＝﹣2． ∴HE＝4、 由S△PAB＝2S△ABC，
可在y轴上且点H上方取一点F，使FH＝2HE，则F（0，10）． 过点F作FP∥AB交抛物线于点P1、P2．此时满足S△PAB＝2S△ABC， 设直线P1、P2的函数解析式为：y＝x+k． ∵F（0，10）在直线P1、P2上， ∴k＝10．
∴直线P1、P2的函数解析式为：y＝x+10． 联立
．
解得，，
综上，满足条件的点P的坐标是P1（﹣1，9），P2（6，16）；
（3）设A′（x1，y1），B′（x2，y2）， 显然，∠PA′B′≠90°．
（i）如图2，当∠A′B′P＝90°时，过点B′作直线MN∥y轴，A′M⊥MN于M，PN⊥
MN于N．
∵直线A′B′的解析式是y＝x+t， ∴∠B′AM＝45°．
进一步可得到△A′B′M，△PB′N都是等腰直角三角形． ∴PN＝NB′，
∴x2+1＝9﹣y2，即x2+y2＝8 ① 又y2＝x2+t，②
联立①②解得．
将点（4﹣t，4+）代入二次函数解析式，得4+＝（4﹣
﹣2）2．
解得 t1＝0，t2＝10（此时点A′与点P重合，舍去）；
②如图3，当∠A′PB′＝90°时，过点P作EF∥y轴，A′E⊥EF于E，B′F⊥EF于F．