【点评】本题考查几何体的体积的求法，直线与平面垂直，平面与平面垂直的应用，二面角的大小的求法，考查空间想象能力以及计算能力．
*
19．已知数列{an}的前n项和Sn满足2Sn=3an﹣1，其中n∈N． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设
，数列{bn}的前n项和为Tn，若
对n∈N恒成立，求实数c
*
的取值范围．
【考点】数列与函数的综合；数列的求和；数列递推式．
【专题】计算题；规律型；方程思想；转化思想；综合法；等差数列与等比数列． 【分析】（1）利用已知条件，通过an=sn﹣sn﹣1，判断数列是等比数列，然后求解通项公式． （2）利用数列裂项求和，然后利用不等式推出结果即可． 【解答】解：（1）∵当
当n≥2，∵①﹣②：
，∴a1=1，
，②
，即：an=3an﹣1（n≥2）…（4分）
，①
又∵a1=1，∴对n∈N都成立，所以{an}是等比数列，
*
∴…（6分）
（2）∵，∴，∴，
∴∵
2
*
，…（8分）
，∴Tn＜3对n∈N都 成立…（10分）
∴3≤c﹣2c，∴c≥3或c≤﹣1，
∴实数c的取值范围为（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞），…（12分）
【点评】本题考查数列的通项公式的求法，数列求和以及数列与不等式的关系，考查分析问题解决问题的能力．
20．已知圆G：x+y﹣x﹣
2
2
y=0，经过椭圆=1（a＞b＞0）的右焦点F及上顶点B，过
圆外一点（m，0）（m＞a）倾斜角为（1）求椭圆的方程；
的直线l交椭圆于C，D两点．
（2）若右焦点F在以线段CD为直径的圆E的内部，求m的取值范围．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系． 【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（1）利用圆
经过点F，B．求出F，B，得到c，b，求出a．写
出椭圆的方程．
（2）设直线l的方程为y=﹣（x﹣m）（m＞2）．联立方程组消去y，设C（x1，y1），D（x2，y2），利用韦达定理，结合数量积相遇0，求解m的范围． 【解答】解：（1）∵圆∴∴
，
，∴a=4．
，…（4分）
2
经过点F，B．
故椭圆的方程为
（2）设直线l的方程为y=﹣（x﹣m）（m＞2）．
由消去y得7x﹣8mx+（4m﹣12）=0，
22
设C（x1，y1），D（x2，y2），则∴∵
=（x1﹣1，y1），
=（x2﹣1，y2），…（8分）
，…（6分）
．
∴=（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2）=x1x2﹣（x1+x2）+1+y1y2=…（10分）
∵点F在圆G的内部，∴，即，
解得
2
2
，
．
由△=64m﹣28（4m﹣12）＞0，解得又m＞2，∴
，…（12分）
【点评】本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力． 21．已知数列{an+1}是等比数列，a3=3，a6=31，数列{bn}的前n项和为Sn，b1=1，且nSn+1﹣（n+1）Sn=n（n+1）．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式； （2）设cn=
，数列{cn}的前n项和为Tn，若不等式Tn≥m﹣
对于n∈N恒成立，求实数
*
m的最大值．
【考点】数列与不等式的综合；数列的求和．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；等差数列与等比数列． 【分析】（1）利用已知条件通过等比数列求解通项公式
得
Sn，然后求解{bn}的通项公式． （2）化简
，利用错位相减法求出Tn，转化不等式为
恒成立，
是以
，利用
为首项，为公差的等差数列，求出
利用最值求解实数m的最大值． 【解答】解：（1）由a3=3，a6=31，得a3+1=4，a6+1=32， 所以由故则
当n≥2时，
因为b1=1满足该式，所以bn=n，…（6分） （2）由（1）可知
，所以不等式
，
是以
，∴
，…（2分） 得，
为首项，为公差的等差数列， ，所以
，…（4分）
， ，
即为令两式相减得
，则
，
，
，
所以，…（8分）
由恒成立，即恒成立，
又，
故当n≤3时，单调递减；当n=3时，；
当n≥4时，单调递增；当n=4时，；
则的最小值为，
所以实数m的最大值是…（12分）
【点评】本题考查数列的通项公式以及数列求和的方法，数列与不等式的综合应用，数列的函数特征的应用，考查分析问题与解决问题，转化思想的应用，难度比较大．
22．已知双曲线C：x﹣
2
=1的左、右两个顶点分别为A、B．曲线M是以A、B两点为短轴端
点，离心率为的椭圆．设点P在第一象限且在曲线C上，直线AP与椭圆M相交于另一点T．
（Ⅰ）设点P、T的横坐标分别为x1、x2，证明：x1x2=1；
（Ⅱ）设△TAB与△POB（其中O为坐标原点）的面积分别为S1与S2，且的最大值．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题． 【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题．
【分析】（Ⅰ）依题意得A（﹣1，0），B（1，0），设椭圆M的方程为
，由椭
?
≤9，求S1?S2
圆M的离心率e=，得椭圆M的方程为，设P（x1，y1），T（x2，y2），由kAP=kAT，
和点P和点T分别在双曲线和椭圆上，能证明x1x2=1．