2015-2016学年辽宁省鞍山一中、东北育才中学、大连八中等学校高
二（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
2
1．已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn=n+1，则a5=（ ） A．7 B．9 C．11 D．12
2
2．已知命题p：?x∈R，x≥0，则（ ）
222
A．￢p：?x∈R，x≥0 B．￢p：?x∈R，x＜0 C．￢p：?x∈R，x≤0 D．￢p：
2
?x∈R，x＜0
3．设a＞b，则下列不等式成立的是（ ） A．a+b＞ab B．
2
2
＜0 C．a＞b
22
D．2＜2
ab
an*
4．数列{an}、{bn}满足bn=2（n∈N），则“数列{an}是等差数列”是“数列{bn}是等比数列”的（ ）
A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也必要条件
5．在直角坐标平面内，满足方程
为（ ）
A．抛物线及原点 B．双曲线及原点
C．抛物线、双曲线及原点 D．两条相交直线
6．设公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4=2（a2+a3），则
=（ ）
的点（x，y）所构成的图形
A．﹣ B． C．7 D．14
7．设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，则有（ ） A．
?
=a B．
2
?=0 C． ?=a D．
2
?=a
2
8．若正实数x，y满足不等式2x+y＜4，则x﹣y的取值范围是（ ） A．[﹣4，2] B．（﹣4，2） C．（﹣2，2] D．[﹣2，2）
9．已知点P为抛物线C：y=4x上一点，记P到抛物线准线l的距离为d1，点P到圆（x+2）22
+（y+4）=4的距离为d2，则d1+d2的最小值是（ ） A．6 B．1 C．5 D．3
10．设各项均为正数的数列{an}的前n项之积为Tn，若
，则
的最小值为（ ）
2
A．7 B．8 C． D．
11．已知四面体ABCD的顶点A，B，C，D在空间直角坐标系中的坐标分别为
，O为坐标原点，
则在下列命题中，正确的为（ ） A．OD⊥平面ABC B．直线OB∥平面ACD
C．直线AD与OB所成的角是45° D．二面角D﹣OB﹣A为45°
12．设双曲线C：
（b＞a＞0）的左、右焦点分别为F1，F2．若在双曲线的右支上
存在一点P，使得|PF1|=3|PF2|，则双曲线C的离心率e的取值范围为（ ）
A．（1，2] B． C． D．（1，2）
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡的横线上） 13．已知双曲线
=1（a＞b，b＞0）的渐近线方程为y=±x，且经过点
，
则该双曲线的方程为 ．
14．已知关于x的不等式ax+b＞0的解集为（﹣∞，﹣），则关于x的不等式bx﹣a＞0的解集为 ．
15．已知集合A={（x，y）||x|+|y|≤4}，B={（x，y）||y|﹣|x|≤0}，设集合C=A∩B，则集合C所对应的平面区域的面积为 ．
16．设f（x）是定义域R上的增函数，?x，y∈R，f（x+y）=f（x）+f（y）﹣1，若不等式f（x﹣x﹣3）＜3的解集为{x|﹣2＜x＜3}，记
2
2
，则数列{an}的前n
项和Sn= ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．已知条件p：?m∈[﹣1，1]使不等式a﹣5a+5≥m+2成立；条件q：x+ax+2=0有两个负数根，若p∨q为真，且p∧q为假，求实数a的取值范围．
18．如图，四棱锥P﹣ABCD中，平面PCD⊥平面ABCD，△PCD是等边三角形，四边形ABCD是梯形，BC∥AD，BC⊥CD，AD=2BC=2．
（1）若AB⊥PB，求四棱锥P﹣ABCD的体积；
（2）在（1）的条件下，求二面角P﹣AB﹣D的大小．
22
*
19．已知数列{an}的前n项和Sn满足2Sn=3an﹣1，其中n∈N． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设的取值范围．
20．已知圆G：x+y﹣x﹣
2
2
，数列{bn}的前n项和为Tn，若对n∈N恒成立，求实数c
*
y=0，经过椭圆=1（a＞b＞0）的右焦点F及上顶点B，过
圆外一点（m，0）（m＞a）倾斜角为的直线l交椭圆于C，D两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若右焦点F在以线段CD为直径的圆E的内部，求m的取值范围． 21．已知数列{an+1}是等比数列，a3=3，a6=31，数列{bn}的前n项和为Sn，b1=1，且nSn+1﹣（n+1）Sn=n（n+1）．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式； （2）设cn=m的最大值．
22．已知双曲线C：x﹣
2
，数列{cn}的前n项和为Tn，若不等式Tn≥m﹣对于n∈N恒成立，求实数
*
=1的左、右两个顶点分别为A、B．曲线M是以A、B两点为短轴端
点，离心率为的椭圆．设点P在第一象限且在曲线C上，直线AP与椭圆M相交于另一点T．
（Ⅰ）设点P、T的横坐标分别为x1、x2，证明：x1x2=1；
（Ⅱ）设△TAB与△POB（其中O为坐标原点）的面积分别为S1与S2，且的最大值．
?
≤9，求S1?S2