高中数学必修五第一章 正弦定理 练习
A组 基础巩固 1．在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是( ) A．有一解 B．有两解 C．无解 D．有解但解的个数不确定 解析：由正弦定理＝， sinBsinC340×2bsinC得sinB＝＝＝3>1. c20∴B不存在．即满足条件的三角形不存在． 答案：C 2．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且acosB＋acosC＝b＋c，则△ABC的形状是( ) A．等边三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 解析：∵acosB＋acosC＝b＋c，由正弦定理得， sinAcosB＋sinAcosC＝sinB＋sinC＝sin(A＋C)＋sin(A＋B)， 化简得：cosA(sinB＋sinC)＝0，又sinB＋sinC>0， π∴cosA＝0，即A＝， 2∴△ABC为直角三角形． 答案：D 3．在△ABC中，一定成立的等式是( ) A．asinA＝bsinB B．acosA＝bcosB C．asinB＝bsinA D．acosB＝bcosA 解析：由正弦定理＝＝，得asinB＝bsinA. sinAsinBsinC
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bcabc答案：C 3＋14．在△ABC中，已知B＝60°，最大边与最小边的比为，则2三角形的最大角为( ) A．60° B．75° C．90° D．115° 解析：不妨设a为最大边，c为最小边，由题意有＝sinA即sin120°－AasinA3＋1＝，csinC23＋1＝.整理，得(3－3)sinA＝(3＋3)cosA.2∴tanA＝2＋3，∴A＝75°，故选B. 答案：B 5．在△ABC中，∠BAC＝120°，AD为角A的平分线，AC＝3，AB＝6，则AD的长是( ) A．2 B．2或4 C．1或2 D．5 解析： 如图，由已知条件可得∠DAC＝∠DAB＝60°. ∵AC＝3，AB＝6，S△ACD＋S△ABD＝S△ABC， 131313∴×3×AD×＋×6×AD×＝×3×6×， 222222解得AD＝2. 答案：A 6．在△ABC中，A＝60°，BC＝3，则△ABC的两边AC＋AB的取值范围是( ) A．[33，6] B．(2,43) C．(33，43] D．(3,6] 解析：由正弦定理，得ACsinBsinCsinA＝AB＝BC＝3. 32- 2 -
∴AC＝23sinB，AB＝23sinC. ∴AC＋AB＝23(sinB＋sinC) ＝23[sinB＋sin(120°－B)] ??31?＝23?sinB＋cosB＋sinB?? 22???3?3?＝23?sinB＋cosB? ?2?2??3?1?＝6?sinB＋cosB?＝6sin(B＋30°)． ?2?2?∵0° 259．在△ABC中，B＝45°，AC＝10，cosC＝，求BC边的长． 5解：∵cosC＝255， ∴sinC＝1－cos2C＝1－??25???25?5??＝5. ∴sinA＝sin(B＋C)＝sin(45°＋C) ＝22(cosC＋sinC)＝31010. 由正弦定理可得： 10×310BC＝ACsinA10sinB＝2＝32. 210．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，cosA＝63，B＝A＋π2. (1)求b的值； (2)求△ABC的面积． 解：(1)在△ABC中， 由题意知sinA＝1－cos2A＝33， 又因为B＝A＋π2， 所以sinB＝sin??π?6?A＋2??＝cosA＝3. 由正弦定理可得 b＝asinB3×63sinA＝3＝32. 3 ，c.已知a＝3，- 4 - b