2019年温州永嘉中学提前自主招生选拔模拟考试
数 学 试 题
（满分：120分 时间：100分钟）
一、选择题（共8小题，满分32分，每小题4分）
1．任意选择一对有序整数（b，c），其中每一个整数的绝对值小于或等于5，每一对这样的有序整数被选择的可能性是相等的．方程x2+bx+c＝0没有相异正实根的概率是（ ） A．
B．
C．
D．
2．若（a2+b2）（a2+b2﹣2）＝8，则a2+b2的值为（ ） A．4或﹣2
B．4
C．﹣2
D．﹣4
3．将一副三角板如下图摆放在一起，连接AD，则∠ADB的正切值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知实数x，y，z适合x+y＝6，z2＝xy﹣9，则z＝（ ） A．±1
B．0
C．1
D．﹣1
5．已知a、b、c为自然数，且a2+b2+c2+42＜4a+4b+12c，且a2﹣a﹣2＞0，则代数式A．1
的值为（ ）
B．
C．10
D．11
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，以AB为一边向三角形外作正方形ABEF，正方形的中心为O，且OC＝4
，那么BC的长等于（ ）
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A．3 B．5 C．2 D．
7．如果对于某一特定范围内的任意允许值，p＝|1﹣2x|+|1﹣3x|+…+|1﹣9x|+|1﹣10x|的值恒为一常数，则此值为（ ） A．2
B．3
C．4
D．5
于A、B两点，交x轴于点C，
8．如图，直线y＝x+m交双曲线y＝
交y轴于点D，过点A作AH⊥x轴于点H，连结BH，若OH：HC＝1：5，S△ABH＝1，则k的值为（ ）
A．1
B．
C．
D．
二、填空题（共7小题，满分35分，每小题5分）
9．若多项式x2﹣y2+3x﹣7y+k可以分解成两个一次因式的乘积，则k＝ ． 10．设x﹣y﹣z＝19，x2+y2+z2＝19，则yz﹣zx﹣xy＝ ． 11．符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算如下：
，
，
，
，…，利用以上运算的规律写出f（n）＝ （n为
正整数）；f（1）?f（2）?f（3）…f（200）＝ ． 12．已知P是中心为O的正方形ABCD内一点，AP⊥BP，OP＝正方形ABCD的边长是 ．
13．在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都是整数的点（x，y）称为整点，如果将二次函数
的图象与x轴所围成的封闭图形染成红色，则此红
，PA＝6，则
色区域内部及其边界上的整点个数有 个．
14．在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（2，a）（a＞2），半径为2，函数y＝x的图象被⊙P截得的弦AB的长为
，则a的值是 ．
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15．设[x]表示不超过x的最大整数（例如：[2]＝2，[1.25]＝1），已知0≤a≤1，且满足
，则[10a]＝ ．
三、解答题（共5小题，满分53分） 16．（8分）设
17．（10分）永嘉中学高一段组织了围棋比赛，共有10名选手进入了决赛，决赛阶段实行单循环赛（即每两名参赛选手都要赛一局，且每局比赛都决出胜负），若一号选手胜a1局，输b1局；二号选手胜a2局，输b2局，…，十号选手胜a10局，输b10局．试比较a12+a22+…+a102与b12+b22+…+b102的大小，并叙述理由．
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＝a（a≠0），求的值．
18．（10分）如图，四边形ABCD为圆内接四边形，对角线AC、BD交于点E，延长DA、CB交于点F，且∠CAD＝60°，DC＝DE． 求证： （1）AB＝AF；
（2）A为△BEF的外心（即△BEF外接圆的圆心）．
19．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的顶点A、B的坐标分别是（5，0）、（3，2），点D在线段OA上，BD＝BA，点Q是线段BD上一个动点，点P的坐标是（0，3），设直线PQ的解析式为y＝kx+b． （1）求k的取值范围；
（2）当k为取值范围内的最大整数时，若抛物线y＝ax2﹣5ax的顶点在直线PQ、OA、AB、BC围成的四边形内部，求a的取值范围．
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