高三数学第一轮复习教学案
【课题】：立体几何综合应用
教学目标：
知识与技能：灵活运用立体几何的公理，定理证明有关的平行与垂直；学会计算有关几何体的面积与体积
过程与方法：学教结合，以学生训练为主
情感态度价值观：培养学生的空间相象能力及运算能力，体现数学源于生活的思想 教学重点：平行与垂直的证明
教学难点：平行与垂直的证明及体积的计算 一：基础训练
1. 已知a、b是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：①若a⊥α，a⊥β，则α∥β ②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
③若α∥β，a?α，b?β，则a∥b ④若α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，则a∥b 其中正确命题的序号有________ ①④
2. 给出四个命题：①线段AB在平面?内，则直线AB不在?内；②两平面有一个公共点，则一定有无数个公共点；③三条平行直线共面；④有三个公共点的两平面重合. 其中正确命题的个数为
3. 已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的 _____________必要不充分条件
4. 三棱锥S－ABC中，面SAB，SBC，SAC都是以S为直角顶点的等腰直角三角形，且AB＝BC＝CA＝2，则三棱锥S－ABC的表面积是________．3＋3
5．已知PA，PB，PC两两互相垂直，且△PAB、△PAC、△PBC的面积分别为1.5cm2，2cm2，6cm2，则过P，A，B，C四点的外接球的表面积为 26π cm2．
6.一个正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为1，高为8，一质点自A点出发，沿着三棱柱的表面绕行两周到达A1点的最短路线的长为_____________10
7. 一根细金属丝下端挂着一个半径为lcm的金属球，将它浸没在底面半径为2cm的圆柱形容器内的水中，现将金属丝向上提升，当金属球全部被提出水面时，容器内的1水面下降的高度是__
?8. 如图，?ABC中，?C?90，?A?30，BC?1．在三角形内挖去半圆
3___cm ?（圆心O在边AC上，半圆与BC、AB相切于点C、M，与AC交于N），则图 中阴影部分绕直线AC旋转一周所得旋转体的体积为
二：典型例题
例1．如图, ABCD 为矩形，CF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，AB＝4a，BC＝CF＝2a，
FP为AB的中点.
（Ⅰ）求证：平面PCF⊥平面 PDE； E（Ⅱ）求四面体PCEF的体积.解：（Ⅰ）因为ABCD为矩形，AB＝2BC, P为AB的中点， QDC所以三角形PBC为等腰直角三角形，∠BPC＝45°. 同理可证∠APD＝45°. 所以∠DPC＝90°，即PC⊥PD. 又DE⊥平面ABCD，PC在平面ABCD内，所以PC⊥DE. A BP因为DE?PD＝D ，所以PC ⊥PDE . 又因为PC在平面PCF内，所以平面PCF⊥平面PDE. （Ⅱ）因为CF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD， 所以DE∥CF. 又DC⊥CF，
所以S?CEF?1DC?CF?1?4a?2a?4a2.
22在平面ABCD内，过P作PQ⊥CD于Q，则PQ∥BC，PQ＝BC＝2a.
因为BC⊥CD，BC⊥CF， 所以BC⊥平面PCEF，所以 PQ⊥平面DCEF， 亦即P到平面DCEF的距离为PQ＝2a.
211VPCEF?VP?CEF?PQ?S?CEF??4a?2a?8a3.
333（注：本题亦可利用VP?CEF?VB?CEF?VE?BCF?VD?BCF?1DC?BC?CF?8a3求得）
63例2．如图甲，在直角梯形PBCD中，PB∥CD，CD⊥BC，BC＝PB＝2CD，A是PB的中
点. 现沿AD把平面PAD折起，使得PA⊥AB（如图乙所示），E、F分别为BC、AB边的中点.
PP（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求证：平面PAE⊥平面PDE；
A（Ⅲ）在PA上找一点G，使得FG∥平面PDE. ADF
B图甲 解：（Ⅰ）证明：因为PA⊥AD, PA⊥AB, AB?AD＝A，所以PA⊥平面ABCD.
（Ⅱ）证明：因为BC＝PB＝2CD, A是PB的中点，所以ABCD是矩形，又E为BC边的中点，所以AE⊥ED.
又由PA⊥平面ABCD, 得PA⊥ED, 且PA?AE＝A, 所以ED⊥平面PAE，而ED?平面PDE，故平面PAE⊥平面PDE. （Ⅲ）过点F作FH∥ED交AD于H，再过H作GH∥PD交PA于G, 连结FG.由FH∥ED, ED?平面PED, 得FH∥平面PED；
BCPNGAFBEHMCDDE图乙C例3．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F为棱AD、ABD1C1的中点．
A1B1（Ⅰ）求证：EF∥平面CB1D1；
（Ⅱ）求证：平面CAA1C1⊥平面CB1D1；
（Ⅲ）如果AB＝1，一个点从F出发在正方体的表面上依次经
D过棱BB1、B1C1、C1D1、D1D、DA上的点，又回到F，指出整个ECF线路的最小值并说明理由.
AFB解（Ⅰ）证明：连结BD. 在长方体AC1中，对角线BD∥B1D1.
又? E、F为棱AD、AB的中点， ∴ EF∥BD. ∴ EF∥B1D1. 又B1D1?平面CB1D1，EF?平面CB1D1， ∴ EF∥平面CB1D1. （Ⅱ）证明：? 在长方体AC1中，AA1⊥平面A1B1C1D1， 而B1D1?平面A1B1C1D1， ∴ AA1⊥B1D1.
又?在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，∴B1D1⊥平面CAA1C1. F 又? B1D1?平面CB1D1， ∴平面CAA1C1⊥平面CB1D1．
（Ⅲ）解：最小值为32.如图，将正方体六个面展开，从图中F到F，两点之间线段最短，而且依次经过棱BB1、B1C1、C1D1、D1D、DA上的中点，所求的最小值为32.
三：当堂反馈
1．已知平面?,?和直线m ，给出条件：①m//?；②m??；③m??； ④??? , ⑤?//?.（i）当满足条件 时，有m//?； （ii）当满足条件 时，有m??. (填上条件的序号) ③⑤ ②⑤
2．如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是S，那么圆柱的体积等于
S4
S π
作业卷
1．“a、b是异面直线”是指：
①a?平面?,b?平面?,且a?b??；②a?b??且a,b不平行
③a??,b??,且?????；④a??,b??；⑤不存在平面?使a??,且b??.； 上述说法中，正确的是（填序号）___ _____．②和⑤ 2．. 已知三条不重合的直线两个不重合的平面，有下列命题：
??，则m||?；②若l??,m??，且l||m，则?||?；③若①若m||n,nm??,n??,m||?,n|?|?||?；④若???,????m,n??,n?m，则n??。则
其中正确的序号为 ②④
3．一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且长分别为1，2，3，则这个三棱锥的外接球的体积为____________
4．已知一正方体的棱长为m，表面积为n；一球的半径为p,表面积为q，若
m?2，则pn6= q?5．将一个边长为6和8的矩形纸片卷成一个圆柱，则圆柱的底面半径为 ．
3?或
4?
6．有一根长为4cm，底面半径为1cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕3圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则这段铁丝的最短长度为_ . 24?9?2 7．正四棱柱ABCD–A1B1C1D1中，AB=3，BB1=4.长为1的线段PQ在棱AA1上移动，长为3的线段MN在棱CC1上移动，点R在棱BB1上移动，则四棱锥R–PQMN的体积是 6
AP Q A
D B
DBR CN M C