立体几何综合应用

高三数学第一轮复习教学案

【课题】:立体几何综合应用

教学目标:

知识与技能:灵活运用立体几何的公理,定理证明有关的平行与垂直;学会计算有关几何体的面积与体积

过程与方法:学教结合,以学生训练为主

情感态度价值观:培养学生的空间相象能力及运算能力,体现数学源于生活的思想 教学重点:平行与垂直的证明

教学难点:平行与垂直的证明及体积的计算 一:基础训练

1. 已知a、b是两条不重合的直线,α、β、γ是三个两两不重合的平面,给出下列四个命题:①若a⊥α,a⊥β,则α∥β ②若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β

③若α∥β,a?α,b?β,则a∥b ④若α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,则a∥b 其中正确命题的序号有________ ①④

2. 给出四个命题:①线段AB在平面?内,则直线AB不在?内;②两平面有一个公共点,则一定有无数个公共点;③三条平行直线共面;④有三个公共点的两平面重合. 其中正确命题的个数为

3. 已知α,β表示两个不同的平面,m为平面α内的一条直线,则“α⊥β”是“m⊥β”的 _____________必要不充分条件

4. 三棱锥S-ABC中,面SAB,SBC,SAC都是以S为直角顶点的等腰直角三角形,且AB=BC=CA=2,则三棱锥S-ABC的表面积是________.3+3

5.已知PA,PB,PC两两互相垂直,且△PAB、△PAC、△PBC的面积分别为1.5cm2,2cm2,6cm2,则过P,A,B,C四点的外接球的表面积为 26π cm2.

6.一个正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为1,高为8,一质点自A点出发,沿着三棱柱的表面绕行两周到达A1点的最短路线的长为_____________10

7. 一根细金属丝下端挂着一个半径为lcm的金属球,将它浸没在底面半径为2cm的圆柱形容器内的水中,现将金属丝向上提升,当金属球全部被提出水面时,容器内的1水面下降的高度是__

?8. 如图,?ABC中,?C?90,?A?30,BC?1.在三角形内挖去半圆

3___cm ?(圆心O在边AC上,半圆与BC、AB相切于点C、M,与AC交于N),则图 中阴影部分绕直线AC旋转一周所得旋转体的体积为

二:典型例题

例1.如图, ABCD 为矩形,CF⊥平面ABCD,DE⊥平面ABCD,AB=4a,BC=CF=2a,

FP为AB的中点.

(Ⅰ)求证:平面PCF⊥平面 PDE; E(Ⅱ)求四面体PCEF的体积.解:(Ⅰ)因为ABCD为矩形,AB=2BC, P为AB的中点, QDC所以三角形PBC为等腰直角三角形,∠BPC=45°. 同理可证∠APD=45°. 所以∠DPC=90°,即PC⊥PD. 又DE⊥平面ABCD,PC在平面ABCD内,所以PC⊥DE. A BP因为DE?PD=D ,所以PC ⊥PDE . 又因为PC在平面PCF内,所以平面PCF⊥平面PDE. (Ⅱ)因为CF⊥平面ABCD,DE⊥平面ABCD, 所以DE∥CF. 又DC⊥CF,

所以S?CEF?1DC?CF?1?4a?2a?4a2.

22在平面ABCD内,过P作PQ⊥CD于Q,则PQ∥BC,PQ=BC=2a.

因为BC⊥CD,BC⊥CF, 所以BC⊥平面PCEF,所以 PQ⊥平面DCEF, 亦即P到平面DCEF的距离为PQ=2a.

211VPCEF?VP?CEF?PQ?S?CEF??4a?2a?8a3.

333(注:本题亦可利用VP?CEF?VB?CEF?VE?BCF?VD?BCF?1DC?BC?CF?8a3求得)

63例2.如图甲,在直角梯形PBCD中,PB∥CD,CD⊥BC,BC=PB=2CD,A是PB的中

点. 现沿AD把平面PAD折起,使得PA⊥AB(如图乙所示),E、F分别为BC、AB边的中点.

PP(Ⅰ)求证:PA⊥平面ABCD;

(Ⅱ)求证:平面PAE⊥平面PDE;

A(Ⅲ)在PA上找一点G,使得FG∥平面PDE. ADF

B图甲 解:(Ⅰ)证明:因为PA⊥AD, PA⊥AB, AB?AD=A,所以PA⊥平面ABCD.

(Ⅱ)证明:因为BC=PB=2CD, A是PB的中点,所以ABCD是矩形,又E为BC边的中点,所以AE⊥ED.

又由PA⊥平面ABCD, 得PA⊥ED, 且PA?AE=A, 所以ED⊥平面PAE,而ED?平面PDE,故平面PAE⊥平面PDE. (Ⅲ)过点F作FH∥ED交AD于H,再过H作GH∥PD交PA于G, 连结FG.由FH∥ED, ED?平面PED, 得FH∥平面PED;

BCPNGAFBEHMCDDE图乙C例3.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F为棱AD、ABD1C1的中点.

A1B1(Ⅰ)求证:EF∥平面CB1D1;

(Ⅱ)求证:平面CAA1C1⊥平面CB1D1;

(Ⅲ)如果AB=1,一个点从F出发在正方体的表面上依次经

D过棱BB1、B1C1、C1D1、D1D、DA上的点,又回到F,指出整个ECF线路的最小值并说明理由.

AFB解(Ⅰ)证明:连结BD. 在长方体AC1中,对角线BD∥B1D1.

又? E、F为棱AD、AB的中点, ∴ EF∥BD. ∴ EF∥B1D1. 又B1D1?平面CB1D1,EF?平面CB1D1, ∴ EF∥平面CB1D1. (Ⅱ)证明:? 在长方体AC1中,AA1⊥平面A1B1C1D1, 而B1D1?平面A1B1C1D1, ∴ AA1⊥B1D1.

又?在正方形A1B1C1D1中,A1C1⊥B1D1,∴B1D1⊥平面CAA1C1. F 又? B1D1?平面CB1D1, ∴平面CAA1C1⊥平面CB1D1.

(Ⅲ)解:最小值为32.如图,将正方体六个面展开,从图中F到F,两点之间线段最短,而且依次经过棱BB1、B1C1、C1D1、D1D、DA上的中点,所求的最小值为32.

三:当堂反馈

1.已知平面?,?和直线m ,给出条件:①m//?;②m??;③m??; ④??? , ⑤?//?.(i)当满足条件 时,有m//?; (ii)当满足条件 时,有m??. (填上条件的序号) ③⑤ ②⑤

2.如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是S,那么圆柱的体积等于

S4

S π

作业卷

1.“a、b是异面直线”是指:

①a?平面?,b?平面?,且a?b??;②a?b??且a,b不平行

③a??,b??,且?????;④a??,b??;⑤不存在平面?使a??,且b??.; 上述说法中,正确的是(填序号)___ _____.②和⑤ 2.. 已知三条不重合的直线两个不重合的平面,有下列命题:

??,则m||?;②若l??,m??,且l||m,则?||?;③若①若m||n,nm??,n??,m||?,n|?|?||?;④若???,????m,n??,n?m,则n??。则

其中正确的序号为 ②④

3.一个三棱锥的三条侧棱两两垂直,且长分别为1,2,3,则这个三棱锥的外接球的体积为____________

4.已知一正方体的棱长为m,表面积为n;一球的半径为p,表面积为q,若

m?2,则pn6= q?5.将一个边长为6和8的矩形纸片卷成一个圆柱,则圆柱的底面半径为 .

3?或

4?

6.有一根长为4cm,底面半径为1cm的圆柱形铁管,用一段铁丝在铁管上缠绕3圈,并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端,则这段铁丝的最短长度为_ . 24?9?2 7.正四棱柱ABCD–A1B1C1D1中,AB=3,BB1=4.长为1的线段PQ在棱AA1上移动,长为3的线段MN在棱CC1上移动,点R在棱BB1上移动,则四棱锥R–PQMN的体积是 6

AP Q A

D B

DBR CN M C

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