(完整word版)中考数学二次函数压轴题(含答案)

4.如图,在平面直角坐标系中放置一直角三角板,其顶点为A(0,1),B(2,0),O(0,0),将此三角板绕原点O逆时针旋转90°,得到△A′B′O. (1)一抛物线经过点A′、B′、B,求该抛物线的解析式;

(2)设点P是在第一象限内抛物线上的一动点,是否存在点P,使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积4倍?若存在,请求出P的坐标;若不存在,请说明理由.

(3)在(2)的条件下,试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形?并写出四边形PB′A′B的两条性质.

解:(1)△A′B′O是由△ABO绕原点O逆时针旋转90°得到的, 又A(0,1),B(2,0),O(0,0), ∴A′(﹣1,0),B′(0,2). 方法一:

设抛物线的解析式为:y=ax2+bx+c(a≠0), ∵抛物线经过点A′、B′、B,

∴,解得:,∴满足条件的抛物线的解析式为y=﹣x2+x+2.

方法二:∵A′(﹣1,0),B′(0,2),B(2,0), 设抛物线的解析式为:y=a(x+1)(x﹣2) 将B′(0,2)代入得出:2=a(0+1)(0﹣2), 解得:a=﹣1,

故满足条件的抛物线的解析式为y=﹣(x+1)(x﹣2)=﹣x2+x+2; (2)∵P为第一象限内抛物线上的一动点,

设P(x,y),则x>0,y>0,P点坐标满足y=﹣x2+x+2.

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连接PB,PO,PB′,

∴S四边形PB′A′B=S△B′OA′+S△PB′O+S△POB, =×1×2+×2×x+×2×y, =x+(﹣x2+x+2)+1, =﹣x2+2x+3.

∵A′O=1,B′O=2,∴△A′B′O面积为:×1×2=1, 假设四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍,则 4=﹣x2+2x+3, 即x2﹣2x+1=0, 解得:x1=x2=1,

此时y=﹣12+1+2=2,即P(1,2).

∴存在点P(1,2),使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍. (3)四边形PB′A′B为等腰梯形,答案不唯一,下面性质中的任意2个均可. ①等腰梯形同一底上的两个内角相等;②等腰梯形对角线相等;

③等腰梯形上底与下底平行;④等腰梯形两腰相等.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(10分) 或用符号表示:

①∠B′A′B=∠PBA′或∠A′B′P=∠BPB′;②PA′=B′B;③B′P∥A′B;④B′A′=PB.

5.如图,抛物线y=x2﹣2x+c的顶点A在直线l:y=x﹣5上. (1)求抛物线顶点A的坐标;

(2)设抛物线与y轴交于点B,与x轴交于点C、D (C点在D点的左侧),试判断△ABD的形状; (3)在直线l上是否存在一点P,使以点P、A、B、D 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求点P的坐标; 若不存在,请说明理由.

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解:(1)∵顶点A的横坐标为x=﹣∴当x=1时,y=1﹣5=﹣4, ∴A(1,﹣4).

(2)△ABD是直角三角形.

=1,且顶点A在y=x﹣5上,

将A(1,﹣4)代入y=x2﹣2x+c,可得,1﹣2+c=﹣4, ∴c=﹣3,∴y=x2﹣2x﹣3,∴B(0,﹣3) 当y=0时,x2﹣2x﹣3=0,x1=﹣1,x2=3 ∴C(﹣1,0),D(3,0),

BD2=OB2+OD2=18,AB2=(4﹣3)2+12=2, AD2=(3﹣1)2+42=20,BD2+AB2=AD2, ∴∠ABD=90°,即△ABD是直角三角形. (3)存在.

由题意知:直线y=x﹣5交y轴于点E(0,﹣5),交x轴于点F(5,0) ∴OE=OF=5, 又∵OB=OD=3

∴△OEF与△OBD都是等腰直角三角形 ∴BD∥l,即PA∥BD

则构成平行四边形只能是PADB或PABD,如图,

过点P作y轴的垂线,过点A作x轴的垂线交过P且平行于x轴的直线于点G. 设P(x1,x1﹣5),则G(1,x1﹣5) 则PG=|1﹣x1|,AG=|5﹣x1﹣4|=|1﹣x1| PA=BD=3

由勾股定理得:

(1﹣x1)2+(1﹣x1)2=18,x12﹣2x1﹣8=0,x1=﹣2或4 ∴P(﹣2,﹣7)或P(4,﹣1),

存在点P(﹣2,﹣7)或P(4,﹣1)使以点A、B、D、P为顶点的四边形是平行四边形.

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周长类

6.如图,Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上,O为坐标原点,A、B两点的坐标分别为(﹣3,0)、(0,4),抛物线y=x2+bx+c经过点B,且顶点在直线x=上.

(1)求抛物线对应的函数关系式;

(2)若把△ABO沿x轴向右平移得到△DCE,点A、B、O的对应点分别是D、C、E,当四边形ABCD是菱形时,试判断点C和点D是否在该抛物线上,并说明理由;

(3)在(2)的条件下,连接BD,已知对称轴上存在一点P使得△PBD的周长最小,求出P点的坐标;

(4)在(2)、(3)的条件下,若点M是线段OB上的一个动点(点M与点O、B不重合),过点M作∥BD交x轴于点N,连接PM、PN,设OM的长为t,△PMN的面积为S,求S和t的函数关系式,并写出自变量t的取值范围,S是否存在最大值?若存在,求出最大值和此时M点的坐标;若不存在,说明理由.

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