(2) 由f?(x)?k(1?x)f(x)?(x?1)(?kx?1)x?e?0, 得(x?1)(?kx?1)?0,故当
x2?1?0?k?1时, 解集是?x1?x??;当k?1时, 解集是?; 当k?1时, 解集是
k???1?x?x?1??. k??26．设函数f(x)?xx?a?b,b为常数且b?22?3, 对于任意x?[0,1],f(x)?0恒成立, 求实数a的取值范围. 解 从去绝对值展开讨论.
?a?0,当a?0时, x?ax?b?0对x?[0,1]恒成立, ??
a?1?b.?2?a?1,?a?1,??2当a?1时, ?x?ax?b?0对x?[0,1]恒成立, ???1?b?22?3, 或?b??1,
?a?1?b.?a?2?b.??当0?a?1时, x?ax?b?0对x?[0,1]恒成立且?x?ax?b?0对x?[0,1]恒成
22?0?a?1,?0?a?1,?0?a?1,?立, ?? 即?a?1?b, 且?2?a?1?b.?a?4b?0.?a2?4b?0.??0?a?1,?a?1,a?0,?????或?b??1,或?a?1?b, ?a?1?b.?a?1?b.?2??a?4b?0.当b??1时化简可得1?b?a?0或?或1?a?1-b或0?a?1即1?b?a?1?b; ，当?1?b??当?1时化简可得1?a?2?b或?或1?b?a?1,即1?b?a?2?b. 41?b?22?3时化简可得或?或?或?或1?b?a?2?b,即41?b?a?2?b.
27．设a为实数, 函数f(x)?2x?(x?a)x?a.(1)若f(0)?1,求a的取值范围; (2)求f(x)的最小值. 解 (1)
2f(0)??a?a?1,??a?0, 即a?0.由a2?1知a??1, 因此a的取值范
围为(??,?1].
(2) 记f(x)的最小值为g(a). 我们有
?a22a2,x?a,?3(x?)? f(x)?2x2?(x?a)x?a??33?(x?a)2?2a2,x?a.?①当a?0时, f(?a)??2a,?f(x)??2a,此时g(a)?2222a. 3a22a22a2a22?;若x?a,则②当a?0时, f()?a.若x?a, 则f(x)?3(x?)?3333322x?a?2a?0,f(x)?(x?a)2?2a2?2a2?a2.此时g(a)?a2.
33??2a2,a?0,?综上得, g(a)??22
?a,a?0.?328．已知函数f(x)?x?1?x?2,且不等式a?b?a?b?af(x)对
a?0,a,b?R恒成立, 求实数x的取值范围.
解 由a?b?a?b?af(x)且a?0得
a?b?a?b?f(x).又因为
aa?b?a?ba?b?a?b??2, 则只要2?f(x). 解不等式x?1?x?2?2得
aa15?x?. 2229．已知实数a,b,c,d满足a?b?c?d?3,a?2b?3c?6d?5,试求实数a的取值范围.
解 由柯西不等式得(2b?3c?6d)(?2222222111?)?(b?c?d)2, 即2362b2?3c2?6d2?(b?c?d)2.由条件可得5?a2?(3?a)2, 解得1?a?2,当且仅当
2b3c6d时等号成立. ??111236当b?11121,c?,d?时, amax?2;当b?1,c?,d?时, amin?1. 23633故所求实数a的取值范围是[1,2]
30．已知函数f(x)(x?R)满足下列条件, 对任意实数x1,x2都有
?(x1?x2)2?(x1?x2)[f(x1)?f(x2)], f(x1)?f(x2)?x1?x2,其中?是大于0的常
数, 设实数a0,a,b满足f(a0)?0和b?a??f(a).
(1)证明: ??1,并且不存在b0?a0,使得f(b0)?0;
222(2)证明: (b?a0)?(1??)(a?a0);
(3)证明: f(b)?(1??)f(a).
2证 (1)任取x1,x2?R,x1?x2,则由?(x1?x2)?(x1?x2)[f(x1)?f(x2)] (1)及
222f(x1)?f(x2)?x1?x2, (2)可知
?(x1?x2)2?(x1?x2)[f(x1)?f(x2)]?x1?x2f(x1)?f(x2) ?x1?x2,从而??1.
假设有b0?a0,使得f(b0)?0,则由(1)式知
20??(a0?b0)2?(a0?b0)[f(a0)?f(b0)]?0,产生矛盾. 所以不存在b0?a0,使得
f(b0)?0.
证(2) 由b?a??f(a), (3)可知
(b?a0)2?[a?a0??f(a)]2?(a?a0)2?2?(a?a0)f(a)??2f2(a). (4)
2由f(a0)?0和(1)式, 得(a?a0)f(a)?(a?a0)[f(a)?f(a0)]??(a?a0), (5) 222由f(a0)?0和(2)式, 得f(a)?[f(a)?f(a0)]?(a?a0), (6)将(5)(6)代入(4)式
2222222得(b?a0)?(a?a0)?2?(a?a0)??(a?a0)?(1??)(a?a0).
证(3) 易知a?b时, ??f(a)?f(b)f(a)?f(b)?1,???1,故
a?b?f(a)?2?f(b)f(b)??,1????1??2,f(b)?(1??2)f(a),当a?b此式也成立, 则f(a)f(a)f2(b)?(1??2)f2(a).
第三章习题及答案
1．如果F(x)?f1(x1)f2(x2)...fk(xk)?0,那么方程F(x)?0的解集等于下列各个方程：f1(x)?0,f2(x)?0,...,fk(x)?0的解集的并集, 其中每一个解都属于这k个方程的定义域的交集.
解 设F(x)的定义域为M,fi(x)的定义域Mi(i?1,2,...,k), 因为
F(x)?f1(x)f2(x)...fk(x), 所以, M?M1M2...Mk.又设F(x)?0的交集为A,
x1?A;fi(x)?0的解集为Bi(i?1,2,...,k).因为x1?A?M,所以 x1?M1M2...Mk. 因为F(x1)?0,于是有f1(x1)f2(x2)...fk(xk)?0,这个等式的左
B2...Bk. 反之易证B1B2...Bk?A.
端至少有一个因式等于零, 这表明x1?B12．设a1?a2?...?an,f(x)(??,a1][an,??). 当A?maxf(ai),i?1,2,...,n时, 不等
式
?i?1n???x?ai?A的解集为?x????ai??AA?i?1??x?i?1??. nnnn???n?ain证明 因f(x)的图象在区间[ai,ai?1](i?1,2,...,n?1)上都是线段, 又
A?maxf(ai)(i?1,2,...,n), 则在区间[ai,ai?1]上, f(x)的图象是一条射线
y??nx??ai,x?a, 且当x???时, f(x)???.同理, f(x)在[ai?1,??)上是一条
i?1n射线y?nx??a, 且x???时,
ii?1nf(x)???.
从而函数y??x?ai?1nni的图象与直线y?A的交点只能是在(??,a1]与[an,??)内,
n将y?A与y??nx??ai和y?nx??ai, 分别联立求得交点横坐标为x?i?1i?1n?ai?1in?An