21. （满分8分）已知抛物线的顶点为（1，4），与y轴交点为（0，3） （1）求该抛物线的解析式，并画出此函数的图像； （2）观察图像，写出当y＜0时，自变量x的取值范围。
图6
22. （满分10分）如图7，已知在矩形ABCD中，∠ADC的平分线DE与BC边交于点E，点
P是线段DE上一定点（其中EP＜PD）. 若点F在CD边上（不与D重合），将∠DPF绕点P逆时针旋转90°后，角的两边PD、PF分别交线段DA于点H、G. （1） 求证：PG=PF；
（2） 探究：DF、DG、DP之间有怎样的数量关系，并证明
你的结论.
22A H G D F
B P E 图7
C
23. （满分10分）已知关于x的方程x?(2k?3)x?k?1?0有两个不相等的实数根x1，
x2
（1）求k的取值范围 （2）试说明x1＜0，x2＜0
（3）若抛物线y?x?(2k?3)x?k?1与x轴交于A、B两点，点A、点B到原点的
距离分别为OA、OB，且OA+OB=2OA·OB-3，求k的值.
24.（满分12分）定义：若抛物线L2：y?mx2?nx（m≠0）与抛物线L1：y?ax2?bx（a
≠0）的开口大小相同，方向相反，且抛物线L2经过L1的顶点，我们称抛物线L2为L1的“友好抛物线”.
（1）若L1的表达式为y?x?2x，求L1的“友好抛物线”的表达式；（5分） （2）平面上有点P (1，0)，Q (3，0)，抛物线L2：y?mx2?nx为L1：y?ax2的“友
222好抛物线”，且抛物线L2的顶点在第一象限，纵坐标为2，当抛物线L2与线段PQ没有公共点时，求a的取值范围.（7分）
25. （满分14分）如图8，抛物线y??12x?mx?n与x轴交于A、B两点，与y轴交于2点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A(-1，0)，C(0，2) . （1）求抛物线的解析式；
（2）点E是线段BC上的一个动点（不与B、C重合），过点E作x轴的垂线与抛物线
相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时点E的坐标。
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存
在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由.
九年级上学期数学期中考试试题答案
一、选择题： 题次 1 答案 A 2 B 3 D 4 B 5 B 6 D 7 C 8 D 9 B 10 C 5二、 填空题： 3x??211. 直线 12. 13. 0 14. 20 4 15. y=(x-8)+7 16. 三、
解答题：
2
2
2 a17.解：x＋4x－5＝0
b-4ac=4-4×(-5)=36 ……………………………2分
2
2
?b?b2?4ac x? ……………………………3分
2a=
?4?36 ……………………………5分 2?4?6 ……………………………6分 2=
x1?1，x2??5……………………………8分
说明：☆本题亦可用因式分解法和配方法求解． ☆写出正确答案（即写出x1＝，x2＝，）且至少有一步过程，不扣分. ☆只有正确答案，没有过程，只扣1分. ☆ 如果36没有化简（即x1??4?36?4?36，x2?），只扣1分. 22y A B 3 2 C 1 -3 -2 -1 O 1 2 3 C2 -1 C1 -2 x 18.解：正确画出△A1B1C1 . ………………3分
，
正确画出△A2B2C2.………………6分 正确写出点C2坐标(-1，-1)………7分 ∴△A1B1C1和△A2B2C2如图为所求．…8分
点的字母标错或没下结论最后一分不得分．
A2 B1 -3 A1 B2
（图5） 19. 解：设该矩形的一边长为x cm，则另一边长为(20-x) cm…………………1分
依题意得： x(20?x)?75 …………………2分
解得： x1?5,x2?15 …………………3分
经检验：x1?5,x2?15都符合题意
∴另一边长20-x=15或5…………………4分 若矩形的面积=101 cm，依题意得：x(20?x)?101
2
整理得： x?20x?101?0……………5分 b-4ac=400-404=-4＜0…………6分 ∴该方程无实根……………7分
∴不能围成一个面积为101cm的矩形．……………8分
答：当矩形的边长为5cm和15cm时面积是75cm，不能围成一个面积为101cm的矩形． 20.解：OE=OF
理由如下：过点O作OH⊥AB于点H……………1分 ∵OH过圆心，OH⊥AB
2
2
2
2
2OACEFBD ∴AH=BH……………4分 又∵AE=BF ∴AH-AE=BH-BE 即EH=FH……………5分
∵EH=FH，OH⊥EF
∴OH垂直平分EF……………7分 ∴OE=OF……………8分
说明：☆垂径定理的条件（OH过圆心，OH⊥AB）少一个条件扣一分． 21.解： 设抛物线解析式为y?a(x?1)2?4H 图6
(a?0)…………1分
将（0,3）代入得a?4?3…………2分
解得a??1…………3分
∴该抛物线解析式为y??(x?1)2?4列表，描点，连线…………6分
…………4分
观察图像可知：当y＜0时，自变量x的取值范围是x＜-1或x＞3……8分
22.解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形∴∠ADC=90°
∵DE平分∠ADC，∴∠PDF=∠ADP=45°…………………1分
由旋转可知∠GPF=∠HPD=90°…………………2分 ∴∠GPH=∠FPD ………3分 ∵∠HPD=90°，∠ADP=45°
∴△HPD为等腰直角三角形 ……4分
∴∠DHP=∠PDF=45°且PH=PD ………………5分 ∴△HPG≌△DPF
∴PG=PF …………………………………………6分 （2）结论：DG?DF?2DP……………7分 证明：∵△HPD为等腰直角三角形，
∴ HD=2DP，
2
A H G D F
B
P E
（图7）
C
2∴HD?2DP……………………………………………………8分
∵△HPG≌△DPF
∴DF=HG……………………………………………………9分
∴HD?HG?DG?DF?DG，∴DG?DF?2DP ………………10分 23、解：（1）∵方程有两个不相等的实数根
∴b?4ac=-12k+5＞0，
∴k＜
225……………………2分 122（2）由x?(2k?3)x?k?1?0可知