高中数学选修1-1知识点精华与题目讲解

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r,即r=

|c|

, a2+b2所以c2=(a2+b2)r2; 反过来,若c2=(a2+b2)r2,则

|c|

=r成立, a2+b2说明x2+y2=r2的圆心(0,0)到直线ax+by+c=0的距离等于r, 即圆x2+y2=r2与直线ax+by+c=0相切, 故p是q的充要条件.

10.已知数列{an}的前n项和Sn=pn+q(p≠0且p≠1),求证:数列{an}为等比数列的充要条件为q=-1.

证明:(1)充分性:当q=-1时,a1=p-1. 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=pn1(p-1).

当n=1时,上式也成立.

an+1pn?p-1?于是==p,即数列{an}为等比数列.

anpn-1?p-1?(2)必要性:当n=1时,a1=S1=p+q. 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=pn1(p-1).

∵p≠0且p≠1, an+1pn?p-1?∴==p. anpn-1?p-1?因为{an}为等比数列,

p?p-1?a2an+1

所以==p=,∴q=-1.

a1anp+q即数列{an}为等比数列的充要条件为q=-1.

层级二 应试能力达标

1?a?1?b

1.“0?3?”的( ) A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

1?a?1?b?1?a>?1?b时,有a成立,所以是充分条件;当?3??3??3??3?不能推出0

2.已知直线l,m,平面α,且m?α,则( ) A.“l⊥α”是“l⊥m”的必要条件 B.“l⊥m”是“l⊥α”的必要条件 C.l∥m?l∥α

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D.l∥α?l∥m

解析:选B 很明显l⊥α?l⊥m,l⊥m 3.下列说法正确的是( ) A.“x>0”是“x>1”的必要条件

B.已知向量m,n,则“m∥n”是“m=n”的充分条件 C.“a4>b4”是“a>b”的必要条件

D.在△ABC中,“a>b”不是“A>B”的充分条件

解析:选A A中,当x>1时,有x>0,所以A正确;B中,当m∥n时,m=n不一定成立,所以B不正确;C中,当a>b时,a4>b4不一定成立,所以C不正确;D中,当a>b时,有A>B,所以“a>b”是“A>B”的充分条件,所以D不正确.故选A.

1

4.设p:≤x≤1;q:(x-a)(x-a-1)≤0,若p是q的充分不必要条件,则实数a的

2取值范围是( )

10,? A.??2?10,? C.??2?1

0,? B.??2?10,? D.??2?l⊥α,l∥m l∥α,l∥αl∥m,故选B.

解析:选B ∵q:a≤x≤a+1,p是q的充分不必要条件, 1??a≤2,1

∴?解得0≤a≤.故选B.

2

??a+1≥1,

5.已知关于x的方程(1-a)x2+(a+2)x-4=0(a∈R),则该方程有两个正根的充要条件是________.

??1-a≠0,解析:方程(1-a)x+(a+2)x-4=0有两个实根的充要条件是?

?Δ≥0,?

2

???a≠1,?a≠1,

?即?? 2????a+2?+16?1-a?≥0?a≤2或a≥10.

a≠1,

??a≤2或a≥10,

设此时方程的两根分别为x,x,则方程有两个正根的充要条件是?x+x>0,

??xx>0

1

2

1

212

?

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?≤2或a≥10,?aa+2

?a-1>0,

4??a-1>0a≠1,

?1

答案:(1,2]∪[10,+∞)

6.已知“-1

解析:当方程x2+y2+kx+3y+k2=0表示圆时, k2+3-4k2>0,解得-1

即实数m的取值范围是(-1,1]. 答案:(-1,1]

7.已知p:x2-8x-20>0,q:x2-2x+1-a2>0.若p是q的充分条件,求正实数a的取值范围.

解:不等式x2-8x-20>0的解集为 A={x|x>10或x<-2};

不等式x2-2x+1-a2>0的解集为 B={x|x>1+a或x<1-a,a>0}. 依题意p?q,所以A?B. a>0,??

于是有?1+a≤10,

??1-a≥-2,

解得0

所以正实数a的取值范围是(0,3].

8.求二次函数y=-x2+mx-1的图象与两端点为A(0,3),B(3,0)的线段AB有两个不同的交点的充要条件.

??x+y=3?0≤x≤3?, ①

解:线段AB的方程为x+y=3,由题意得方程组?在[0,3]上有2

?y=-x+mx-1, ②?

两组实数解,将①代入②,得x2-(m+1)x+4=0(0≤x≤3),此方程有两个不同的实数根,令f(x)=x2-(m+1)x+4,则二次函数f(x)在x∈[0,3]上有两个实根,

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?1?0

2故有:?

f?0?=4>0,??f?3?=9-3?m+1?+4≥0,

10

3,?. 故m的取值范围是?3??

Δ=?m+1?2-16>0,

解得3

10

, 3

简单的逻辑联结词

预习课本P14~17,思考并完成以下问题 1.课本提到的简单的逻辑联结词有哪些?

2.命题p∧q、p∨q以及綈p的真假是如何确定的?

[新知初探]

1.逻辑联结词,“且”“或”“非” 符号 p∧q p∨q 綈p 含义 用联结词“且”把命题p和命题q联结起来的一个新命题 用联结词“或”把命题p和命题q联结起来的一个新命题 对一个命题p全盘否定的一个新命题 读法 p且q p或q 非p或p的否定 2.“p∧q”“p∨q”“綈p”的真假判断

p 真 真 假 假 q 真 假 真 假 p∨q 真 真 真 假 p∧q 真 假 假 假 綈p 假 假 真 真

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