高中数学选修1-1知识点精华与题目讲解

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(包括边界)”条件p:________,结论q:________________________________.它是____________命题(填“真”或“假”).

解析:a>0时,设a=1,把(0,0)代入x+y-1≥0得-1≥0不成立, ∴x+y-1≥0表示直线的右上方区域(包括边界), ∴命题为真命题.

答案:a>0 二元一次不等式x+ay-1≥0表示直线x+ay-1=0的右上方区域(包含边界) 真

??0,0

6.定义“正对数”:lnx=?现有四个命题:

?ln x,x≥1.?

①若a>0,b>0,则ln(ab)=blna;

②若a>0,b>0,则ln(ab)=lna+lnb;

+a?++

③若a>0,b>0,则ln?≥lna-lnb; ?b?+++

④若a>0,b>0,则ln(a+b)≤lna+lnb+ln 2. 其中的真命题有________.(写出所有真命题的编号)

解析:对于①,当a≥1时,ab≥1,则ln(ab)=ln ab=bln a=blna;当0

+++

则ln(ab)=0,blna=0,即ln(ab)=blna,故①为真命题.

同理讨论a,b在(0,+∞)内的不同取值,可知③④为真命题.

1+++

对于②,可取特殊值a=e,b=,则ln(ab)=0,lna+lnb=1+0=1,故②为假命题.

e综上可知,真命题有①③④. 答案:①③④

7.已知p:x2-2x+2≥m的解集为R;q:函数f(x)=-(7-3m)x是减函数.若这两个命题中有且只有一个是真命题,求实数m的取值范围.

解:若命题p为真命题,由x2-2x+2=(x-1)2+1≥m,可知m≤1; 若命题q为真命题,则7-3m>1,即m<2.

命题p和q中有且只有一个是真命题,则p真q假或p假q真,

???m≤1,?m>1,?即或?所以1

故实数m的取值范围是(1,2).

8.试探究命题“方程ax2+bx+1=0有实数解”为真命题时,a,b满足的条件. 解:方程ax2+bx+1=0有实数解,要考虑方程为一元一次方程和一元二次方程两种情况:

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1

当a=0时,方程ax2+bx+1=0为bx+1=0,只有当b≠0时,方程有实数解x=-;

b当a≠0时,方程ax2+bx+1=0为一元二次方程,方程有实数解的条件为Δ=b2-4a≥0. 综上知,当a=0,b≠0或a≠0,b2-4a≥0时,方程ax2+bx+1=0有实数解.

1.1.2 & 1.1.3 四种命题 四种命题间的相互关系

预习课本P4~8,思考并完成以下问题

1.一个命题的四种形式分别是什么?它们之间的相互关系分别是什么?

2.什么样的两个命题有相同的真假性?

3.两个互逆命题或互否命题,它们之间的真假性有没有关系?

[新知初探]

1.四种命题的概念

一般地,对于两个命题,如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的结论和条件,那么把这样的两个命题叫做互逆命题,如果是另一个命题的条件的否定和结论的否定,那么把这样的两个命题叫做互否命题,如果是另一个命题结论的否定和条件的否定,那么把这样的两个命题叫做互为逆否命题,把第一个叫做原命题时,另三个可分别称为原命题的逆命题、否命题、逆否命题.

2.四种命题结构

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3.四种命题之间的关系

4.四种命题的真假性之间的关系

(1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;

(2)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系. [小试身手]

1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)一个命题的否命题和逆命题有相同的真假性( ) (2)原命题与逆命题之间的真假性没有关系( ) 答案:(1)√ (2)√

1

2.已知a,b∈R,命题“若a+b=1,则a2+b2≥”的否命题是( )

21

A.若a2+b2<,则a+b≠1

21

B.若a+b=1,则a2+b2< 21

C.若a+b≠1,则a2+b2< 21

D.若a2+b2≥,则a+b=1

2答案:C

3.若a≠0,则ab≠0的逆命题是________. 答案:若ab≠0,则a≠0

4.命题p:若a=1,则a2=1;命题q:若a2=1,则a=1,则命题p与q的关系是________. 答案:互逆命题

四种命题的概念 [典例] 把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题.

(1)全等三角形的对应边相等; (2)当x=2时,x2-3x+2=0.

[解] (1)原命题:若两个三角形全等,则这两个三角形三边对应相等;

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逆命题:若两个三角形三边对应相等,则这两个三角形全等; 否命题:若两个三角形不全等,则这两个三角形三边对应不相等; 逆否命题:若两个三角形三边对应不相等,则这两个三角形不全等. (2)原命题:若x=2,则x2-3x+2=0; 逆命题:若x2-3x+2=0,则x=2; 否命题:若x≠2,则x2-3x+2≠0; 逆否命题:若x2-3x+2≠0,则x≠2.

(1)由原命题写出其他三种命题,关键要分清原命题的条件和结论,将条件与结论互换即得逆命题,将条件和结论同时否定即得否命题,将条件和结论互换的同时,进行否定即得逆否命题.

(2)如果原命题含有大前提,在写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题时,必须注意各命题中的大前提不变.

[活学活用]

写出以下命题的逆命题、否命题和逆否命题.

(1)如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线,那么这条直线垂直于平面; (2)如果x>10,那么x>0.

解:(1)逆命题:如果一条直线垂直于平面,那么这条直线垂直于平面内的两条相交直线; 否命题:如果直线不垂直于平面内的两条相交直线,那么这条直线不垂直于平面; 逆否命题:如果一条直线不垂直于平面,那么这条直线不垂直于平面内的两条相交直线. (2)逆命题:如果x>0,那么x>10; 否命题:如果x≤10,那么x≤0; 逆否命题:如果x≤0,那么x≤10.

四种命题真假的判断 [典例] 判断下列命题的真假. (1)“若x2+y2≠0,则x,y不全为零”的否命题. (2)“正三角形都相似”的逆命题.

(3)“若m>0,则x2+x-m=0有实根”的逆否命题.

[解] (1)原命题的否命题为“若x2+y2=0,则x,y全为零”.真命题. (2)原命题的逆命题为“若三角形相似,则这些三角形是正三角形”.假命题. (3)原命题的逆否命题为“若x2+x-m=0无实根,则m≤0”. 因为方程x2+x-m=0无实根, 1所以判别式Δ=1+4m<0,解得m<-,

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