a11 D?a12a22a21LLa1na2nMannMMan1an2L????1??(p1p2Lpn)a1p1a2p2Lanpn. (6)
称此式为上述n行n列的数表所确定的n阶行列式.
其中p1p2?pn为1,2,?,n的一个排列，?表示对一切n阶排列求和；(6)式右边的和式称为n阶行列式D的展开式；显然D的展开式中共有n!项，其中每一项都是取自D的不同行、不同列的n个元素的乘积，而且每个乘积项前面所带符号的规律为：当逆序数
??p1p2?pn?为偶数时取正号，而当逆序数??p1p2?pn?为奇数时取负号.
行列式有时简记为D?detaij, aij?i?1,2,?,n;j?1,2,?,n?表示行列式D中第i行第j列的元素.
特别的, 当n?1时，a11?a11称为一阶行列式，注意不要与绝对值记号相混淆. 主对角线以下(上)的元素都为0的行列式叫做上(下)三角行列式. 例4 证明下三角行列式
??a1100a21a220D?a31a32a33???an1an2an3????000?a11a22?ann. ?ann证 由行列式定义，其展开式的一般项为 a1p1a2p2?anpn,
在D中，第一行只有a11可能不为0，则取p1?1 ；第二行中，只有a21,a22可能不为0，而a11已经取了，所以a21不能取(与a11同列)，故只能取a22，即p2?2 ；这样继续下去，D中可能不为0的项只有一项 ??1???12?n?a11a22?ann.
又由于??12?n??0为偶数，符号取正，所以得
D?a11a22?ann.
2000例如
D =
340012302015?2?4?3?5?120
同理有上三角行列式
a11a12a13?a1na2n?a11a22?ann. ?ann0a22a23?D????0类似可推得
00?00D?0?0an1a11a21 ?000?an?1,2an2a12a22?an?120000????00a3,n?2?an?1,n?2an,n?2a1n?1a2n?1?00a1n00a2,n?1a3,n?1?an?1,n?1an,n?1a1na2na3n?an?1,nann
an?1,3?an3a13?00??a23????an?11an1??(?1)00n(n?1)2a1na2n?1a3n?2?an1.
主对角线以上和以下的元素都为0的行列式叫做对角行列式. 由上(下)三角行列式计算方法,可直接得
?1
?2???1?2??n；
?n?1
?2????1?n?n?1?2?1?2??n.
?n从n阶行列式定义知，其任一项由n个元素相乘构成，而乘积有交换律. 如果把该项的列标的排列p1p2?pn经过k次对换变成标准排列12?n.这时其相应的行标排列12?n也经过k次的对换后变成s1s2?sn，即有
a1p1a2p2?anpn=as11as22?asnn.
又由定理1.1.2知??p1p2?pn?与??s1s2?sn?有着相同的奇偶性，则有
(?1)?(p1p2?pn)a1p1a2p2?anpn?(?1)?(s1s2?sn)as11as22?asnn.
这样，可以给出n阶行列式的另一个定义.
定义1.2.3′ n阶行列式定义为
D?
a11a21a12?a22?a1na2n?ann??an1an2???(?1)?(s1s2?sn)as11as22?asnn.
小结：本次课我们学习了排列及其逆序数的概念及的定义，重点要掌握二阶和三阶行列式
的计算。
作业：P24～25 习题一 1、3、5(1)～(5)
【课题】 第2 讲 行列式的性质 【学时数】 2
【教学目的】1.理解掌握行列式的性质；
2.熟练应用行列式的性质计算行列式
【教学重点】 应用行列式的性质计算行列式 【教学难点】 行列式的性质的灵活运用 【教学过程】
§1.3 行列式的性质
当n阶行列式的n较大时，用行列式的定义计算其值是很麻烦的，计算量大.本节介绍用行列式的性质，可以把复杂的行列式化为简单的行列式进行计算。 现看什么是 转置行列式
设n阶行列式D?a11a21?an1a12?a22??an2?a1na2n?anna11a12?a1n，
将D的行变成相应的列后得到的行列式 记为
DT?a21?a22??a2n?an1an2?ann.
则称D为D的转置行列式.
?160例如 D?2125047?34?21?120?84?57， 则 D??630＝21+120—84＝57
507证 （略）
性质1 行列式与它的转置行列式相等，即D?D.
这个性质表明了，在行列式中行和列所处的地位是相同的，因而凡是对行成立的性质，对列也同样成立； 反之亦然.
性质2 交换行列式的两行（列），行列式的值变号.
160D?234?21?120?84?57，交换D 的1.2两行得
507234D1?160?84?120?21??57,
507推论 如果行列式中有两行（列）的对应元素相同，则这行列式的值为零.
证 现将行列式D中元素相同的两行互换，则仍为D；但由性质2这时其值为?D，
即 D = ?D，所以 D?0.
性质3 用数k乘以行列式的某一行（列）的所有元素，等于以数k乘以此行列式. 即
a11a12??D1?kai1kai2??an1an2证 D1????a1na11a12???kain?kai1ai2???annan1an2???a1n?ain?kD. ?ann?(p1p2?pn)(?1)a1p1a2p2?kaipi?anpn ??k?(?1)?(p1p2Lpn)a1p1a2p2LaipiLanpn?kD.
推论1 如果行列式的某行（列）的所有元素有公因子，则公因子可以提到行列式符号外面.
推论2 若行列式有两行（列）的对应元素成比例，则行列式的值等于零.
这是因为由推论1，先把行列式的成比例的两行的比例系数提到行列式符号外面后，则行列式的这两行的对应元素相同，再由性质2的推论可知这个行列式的值等于零.
性质4 如果行列式D中的某一行（列）的每一个元素都由二个数之和组成，则D可成为两个行列式之和，即若
a11a12??D?bi1?ci1bi2?ci2??an1an2a11a12??D1?bi1bi2??bn1bn2则 D ?D1?D2. 证 D????a1n?bin?cin,
?ann???a1n?cin， ?bnn???a1na11a12???bin， D2?ci1ci2???bnnbn1bn2(p1p2?pn)?(?1)???(?1)???(?1)?4
a1p1a2p2?(bipi?cipi)?anpn a1p1a2p2?bipi?anpna1p1a2p2?cipi?anpn
(p1p2?pn)(p1p2?pn)?D1?D2.
10102例 计算 D?102110316