《概率统计》练习题及参考答案

8.设(X1,X2,?Xn)是总体X的一个容量为n的样本,S2为该样本的样本方差。另设总

P2体X的方差DX??2存在,试证Sn????2。

习题六 (A)

1.设总体具有分布列 X 1 2 3 pk ?2 2?(1??) (1??)2 其中?(0???1)为未知参数。已知取得了样本值x1?1,x2?2,x3?1,试求?的矩估计值和极大似然估计值。

2.设总体分布如下,样本值为:230,243,185,240,228,196,246,200。 试求未知参数的矩估计。

(1)X~U(0,?);(2)X~N(?,?),?,?均为未知参数; (3)X~p(?);(4)X~e(?)。

3.设总体分布如下,x1,x2,?,xn是样本,试求未知参数的极大似然估计。

22??x??1(1)X~p(?);(2)X~e(?);(3)X~B(m,p);f(x)???020?x?1其他(?>0)。

4.设X1,X2,X3是来自总体X~N(?,?)的样本,则当a取何值时,

??X1?aX2?X6是未知参数?的无偏估计。

5.设X1,X2,X3,X4是来自总体X~N(?,?)的样本,证明下列各项为?的无偏估计,并判断出哪一个为最有效的估计量。

2131614 (1)X1?2X2?2X3?4X4;(2) ?Xi;(3)0.5X1?0.5X4。

4i?16.设(X1,X2,?Xn)是来自均值为u,方差为?的总体的样本,S2为该样本的样本方

2?1?n222X?nXE(S)??差,证明:(1)S?;(2)。 ?i??n?1?i?1?227.比较总体期望值?的两个无偏估计

n1nX??Xi, X???aiXini?1i?1?a(?aii?1i?1nni?0)的有效性。

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8. 一个电子线路上电压表的读数X服从??,??1?上的均匀分布,其中?是该线路上电压的真值,但它是未知的,假设(X1,X2,?Xn)是此电压表上读数的一组样本,

(1)证明样本均值不是的无偏估计;

(2)求?的矩估计,证明它是?的无偏估计。

9.某公司职工年收入服从标准差为4(单位:万元)的正态分布,今从该公司随机抽取16名职工,测得平均年收入为3.6万元,试求该公司职工收入的置信度为95%的置信区间。

10.从服从正态分布N(?,?)的总体中抽取容量为9的样本,样本均值x?150,样本标准差s?14,试求总体均值?的置信水平为95%的置信区间。

11.已知某种材料的抗压强度X~N(?,?),现随机地抽取10个样品进行抗压试验,测得数据如下:

482 493 457 471 510 446 435 418 394 469 (1)求平均抗压强度?的置信水平为95%的置信区间;

(2)若已知??30,求平均抗压强度?的置信水平为95%的置信区间; (3)求?的置信水平为95%的置信区间。

12.某车间生产的零件长度服从正态分布N(?,?),现从该车间生产的零件中随机抽取9个,测得其长度为(单位:m):

45.3, 45.4, 45.1, 45.3, 45.5, 45.7, 45.4, 45.3, 45.6

试求总体标准差?的置信水平为95%的置信区间。

13.设总体X服从正态分布N(?,?),其中u未知,?=4。设(X1,X2,?Xn)是其一个样本,当n=16时,试求置信水平分别为0.9和0.95的的置信区间的长度。

14.已知某炼铁厂铁水含碳量服从正态分布N(4.55,0.108)。现在测定了9炉铁水,其平均含碳量为4.484.如果估计方差没有变化,可否认为现在生产的铁水平均含碳量仍为4.55(?=0.05)?

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