8.设(X1,X2,?Xn)是总体X的一个容量为n的样本，S2为该样本的样本方差。另设总
P2体X的方差DX??2存在，试证Sn????2。
习题六 （A）
1.设总体具有分布列 X 1 2 3 pk ?2 2?(1??) (1??)2 其中?(0???1)为未知参数。已知取得了样本值x1?1,x2?2,x3?1，试求?的矩估计值和极大似然估计值。
2.设总体分布如下，样本值为：230，243，185，240，228，196，246，200。 试求未知参数的矩估计。
（1）X~U(0,?)；（2）X~N(?,?)，?,?均为未知参数； （3）X~p(?)；（4）X~e(?)。
3.设总体分布如下，x1,x2,?,xn是样本，试求未知参数的极大似然估计。
22??x??1（1）X~p(?)；（2）X~e(?)；（3）X~B(m,p)；f(x)???020?x?1其他（?>0）。
4.设X1,X2,X3是来自总体X~N(?,?)的样本，则当a取何值时，
??X1?aX2?X6是未知参数?的无偏估计。
5.设X1,X2,X3,X4是来自总体X~N(?,?)的样本，证明下列各项为?的无偏估计，并判断出哪一个为最有效的估计量。
2131614 （1）X1?2X2?2X3?4X4；（2） ?Xi；（3）0.5X1?0.5X4。
4i?16.设(X1,X2,?Xn)是来自均值为u，方差为?的总体的样本，S2为该样本的样本方
2?1?n222X?nXE(S)??差，证明：（1）S?；（2）。 ?i??n?1?i?1?227.比较总体期望值?的两个无偏估计
n1nX??Xi， X???aiXini?1i?1?a(?aii?1i?1nni?0)的有效性。
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8. 一个电子线路上电压表的读数X服从??,??1?上的均匀分布，其中?是该线路上电压的真值，但它是未知的，假设(X1,X2,?Xn)是此电压表上读数的一组样本，
（1）证明样本均值不是的无偏估计；
（2）求?的矩估计，证明它是?的无偏估计。
9.某公司职工年收入服从标准差为4（单位：万元）的正态分布，今从该公司随机抽取16名职工，测得平均年收入为3.6万元，试求该公司职工收入的置信度为95%的置信区间。
10.从服从正态分布N(?,?)的总体中抽取容量为9的样本，样本均值x?150，样本标准差s?14，试求总体均值?的置信水平为95%的置信区间。
11.已知某种材料的抗压强度X~N(?,?)，现随机地抽取10个样品进行抗压试验，测得数据如下：
482 493 457 471 510 446 435 418 394 469 （1）求平均抗压强度?的置信水平为95%的置信区间；
（2）若已知??30，求平均抗压强度?的置信水平为95%的置信区间； （3）求?的置信水平为95%的置信区间。
12.某车间生产的零件长度服从正态分布N(?,?)，现从该车间生产的零件中随机抽取9个，测得其长度为（单位：m）：
45.3, 45.4, 45.1, 45.3, 45.5, 45.7, 45.4, 45.3, 45.6
试求总体标准差?的置信水平为95%的置信区间。
13.设总体X服从正态分布N(?,?)，其中u未知，?=4。设(X1,X2,?Xn)是其一个样本，当n=16时，试求置信水平分别为0.9和0.95的的置信区间的长度。
14.已知某炼铁厂铁水含碳量服从正态分布N(4.55,0.108)。现在测定了9炉铁水，其平均含碳量为4.484.如果估计方差没有变化，可否认为现在生产的铁水平均含碳量仍为4.55（?=0.05）？
15. 从一批灯泡中抽取50个灯泡的随机样本，算得样本均值x?1900小时，样本标准差s?490小时，以??0.001的水平验证这批灯泡的平均使用寿命是否为2000小时?
16.某种导线的电阻服从正态分布(u,0.005)，今从新生产的一批导线中抽取9根，测其电阻，得s?0.007?。对于??0.05，能否认为这批导线电阻的标准差仍为0.005？
17.机器包装食盐，假设每袋盐的净重服从正态分布，规定每袋标准重量为500g，标准差不能超过10g.某天开工后，未检查其机器工作是否正常，从装好的食盐中随机抽取9袋，测其净重（单位：g）为497 507 510 475 484 488 524 491 515。 问这天包装机工作是否正常（??0.05）？
18.已知某一试验，其温度服从正态分布N(u,?)，现在测量了温度的5个值为 1250 1265 1245 1275
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22222222问是否可以认为u?1227(??0.05)？
19.某电工器材厂生产一种保险丝。测量其熔化时间，依平常情况方差为400，今从某天产品中抽取容量为25的样本，测量其熔化时间并计算得x?62.24,s?404.77，问这天保险丝熔化时间分散度与平常有无显著差异（取??0.05，假定熔化时间服从正态分布）？
20.从两处煤矿各抽样数次，分析其含灰率（%）如下：
甲矿：24.3 20.8 23.7 21.3 17.4 乙矿：18.2 16.9 20.2 16.7
假定各煤矿含灰率都服从正态分布，问甲乙两煤矿的含灰率有无显著差异（??0.05）?
21.某种羊毛在处理前后，各抽取样本，测得含脂率（%）如下：
处理前：19 18 21 30 66 42 8 12 30 27 处理后：15 13 7 24 19 4 8 20
羊毛含脂率按正态分布，问处理后含脂率的标准差有无显著变化（??0.05）？
22.两台车床生产同一种滚珠（滚珠直径按正态分布）。从中分别抽取8个和9个产品:
甲车床：15.0 14.5 15.2 15.5 14.8 15.1 15.2 14.8
乙车床：15.2 15.0 14.8 15.2 15.0 15.0 14.8 15.1 14.8 比较两台车床生产的滚珠直径的方差是否有明显差异（??0.05)？
23.甲乙两个铸造厂生产同一种铸件，假设两厂铸件的重量都服从正态分布，测得重量如下（单位：kg)：
甲厂：93.3 92.1 90.1 95.6 90.0 94.7 乙厂：95.6 94.9 96.2 95.1 95.8 96.3
问乙厂铸件重量的方差是否比甲厂的小（??0.05)？
24.某场使用两种不同的原料生产同一类型产品，随机选取使用原料A生产的样品22件，测得平均质量为2.36（kg），样本标准差为0.57（kg）。取使用原料B生产的样品24件，测得平均质量为2.55（kg），样本标准差为0.48（kg）。设产品质量服从正态分布，两个样本独立。问能否认为使用原料B生产的产品质量较使用原料A显著大（??0.05)？
2（B）
1. 设X1,X2,?,Xn是来自总体X~N(?,?)的样本，并且c2?(Xi?1n?1i?1?Xi)2是参数
?2的无偏估计，求常数c。
2. 证明在样本的一切线性组合中，X是总体期望值?的无偏估计中有效的估计量。 3.在一批货物的容量为100的样本中，经检验发现有16只次品，试求这批货物次品率的置信水平为95%的置信区间。
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习题七 （A）
1.在一个单因素试验中，因素A有三个水平，每个水平各做4次重复试验，具体数据如下：
水平 数据
一水平 8，5 ， 7， 4 二水平 6，10 ，12，9 三水平 0，1， 5， 2 试计算误差平方和Se、因素A的平方和SA、总平方和ST，并指出它们各自的自由度。
2.在单因素方差分析中，
ST???(Xij?X)???[(Xij?Xi)?(Xi?X)]2
2i?1j?1i?1j?1rnirni证明
??(Xi?1j?1rniij?Xi)(Xi?X)?0。
3.在单因素方差分析中，因素A有三个水平，每个水平各做4次重复试验，请完成下列方差分析表，并在显著性水平??0.05下对因素A是否显著作出检验。
方差来源
因素
误差 总和
平方和 4.2 2.5
自由度
均方和
F值
6.7
4.某医院应用克矽平治疗矽肺，治疗前、中、后期患者血液中黏蛋白含量（mg%）观察结果如下：
患者编号 治疗前 治疗中 治疗后
1
2 3 4 5 6 7
6.5 7.3 7.3 3.0 7.3 5.6 7.3
4.5 4.4 5.9 3.6 5.5 4.5 5.2
3.5 3.6 3.7 2.6 4.3 3.7 5.0
试问用克矽平治疗矽肺对降低血液中黏蛋白含量是否有作用（??0.05）？
5.某灯泡厂试验四种不同材料的灯丝对灯泡寿命的影响，结果如下：
材料
A1 A2 A3 A4
灯泡寿命（单位/h）
1600，1650，1680，1800，1720 1580，1640，1740，1700 1640，1730，1550
1510，1570，1680，1600
（1）试问灯泡寿命是否因为灯丝材料不同而有显著差异（??0.05）？ （2）给出不同材料的效应的最大似然估计。
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