8.设(X1,X2,?Xn)是总体X的一个容量为n的样本，S2为该样本的样本方差。另设总
P2体X的方差DX??2存在，试证Sn????2。
习题六 （A）
1.设总体具有分布列 X 1 2 3 pk ?2 2?(1??) (1??)2 其中?(0???1)为未知参数。已知取得了样本值x1?1,x2?2,x3?1，试求?的矩估计值和极大似然估计值。
2.设总体分布如下，样本值为：230，243，185，240，228，196，246，200。 试求未知参数的矩估计。
（1）X~U(0,?)；（2）X~N(?,?)，?,?均为未知参数； （3）X~p(?)；（4）X~e(?)。
3.设总体分布如下，x1,x2,?,xn是样本，试求未知参数的极大似然估计。
22??x??1（1）X~p(?)；（2）X~e(?)；（3）X~B(m,p)；f(x)???020?x?1其他（?>0）。
4.设X1,X2,X3是来自总体X~N(?,?)的样本，则当a取何值时，
??X1?aX2?X6是未知参数?的无偏估计。
5.设X1,X2,X3,X4是来自总体X~N(?,?)的样本，证明下列各项为?的无偏估计，并判断出哪一个为最有效的估计量。
2131614 （1）X1?2X2?2X3?4X4；（2） ?Xi；（3）0.5X1?0.5X4。
4i?16.设(X1,X2,?Xn)是来自均值为u，方差为?的总体的样本，S2为该样本的样本方
2?1?n222X?nXE(S)??差，证明：（1）S?；（2）。 ?i??n?1?i?1?227.比较总体期望值?的两个无偏估计
n1nX??Xi， X???aiXini?1i?1?a(?aii?1i?1nni?0)的有效性。
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8. 一个电子线路上电压表的读数X服从??,??1?上的均匀分布，其中?是该线路上电压的真值，但它是未知的，假设(X1,X2,?Xn)是此电压表上读数的一组样本，
（1）证明样本均值不是的无偏估计；
（2）求?的矩估计，证明它是?的无偏估计。
9.某公司职工年收入服从标准差为4（单位：万元）的正态分布，今从该公司随机抽取16名职工，测得平均年收入为3.6万元，试求该公司职工收入的置信度为95%的置信区间。
10.从服从正态分布N(?,?)的总体中抽取容量为9的样本，样本均值x?150，样本标准差s?14，试求总体均值?的置信水平为95%的置信区间。
11.已知某种材料的抗压强度X~N(?,?)，现随机地抽取10个样品进行抗压试验，测得数据如下：
482 493 457 471 510 446 435 418 394 469 （1）求平均抗压强度?的置信水平为95%的置信区间；
（2）若已知??30，求平均抗压强度?的置信水平为95%的置信区间； （3）求?的置信水平为95%的置信区间。
12.某车间生产的零件长度服从正态分布N(?,?)，现从该车间生产的零件中随机抽取9个，测得其长度为（单位：m）：
45.3, 45.4, 45.1, 45.3, 45.5, 45.7, 45.4, 45.3, 45.6
试求总体标准差?的置信水平为95%的置信区间。
13.设总体X服从正态分布N(?,?)，其中u未知，?=4。设(X1,X2,?Xn)是其一个样本，当n=16时，试求置信水平分别为0.9和0.95的的置信区间的长度。
14.已知某炼铁厂铁水含碳量服从正态分布N(4.55,0.108)。现在测定了9炉铁水，其平均含碳量为4.484.如果估计方差没有变化，可否认为现在生产的铁水平均含碳量仍为4.55（?=0.05）？
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