《概率统计》练习题及参考答案

2k?2p{Xi?k}?e(i?1,2,?,100)

k!随机变量Y?X1?X2???X100,求p{190?Y?210}。

13.某车间有200台车床,在生产时间内由于工艺要求常常停车,设开工率为0.6,并将每台车床的工作当作是相互独立的,开工时耗电各为1千瓦,问至少要供给该车间多少电力,才能以99.9%的概率保证该车间不会应供电不足而影响生产?

14.根据以往经验,某种电子元件的寿命服从参数为1/100小时的指数分布,现随机地取16只,设它们的寿命是相互独立的,求这16只元件的寿命总和大于1920的概率。

15.一射手打靶,得5分的概率为0.4,得4分的概率为0.2,得3分的概率为0.2,得2分的概率为0.1,得0分的概率为0.1,该射手独立射击200次,求:(1)得的总分多于750分的概率;(2)总分介于650与750之间的概率。

16.独立重复地对某物体的长度a进行n次测量,设各次测量结果Xi~N(a,0.2)。记

2X为n次测量结果的算术平均值,为保证有95%的把握使平均值与实际值a的差异小于

0.1,问至少需要测量多少次?

17.由100个相互独立起作用的部件组成的一个系统在运行过程中,每个部件能正常工作的概率为90%。为了使整个系统能正常运行,至少必须有85%的部件正常工作,求整个系统能正常运行的概率。

(B)

1.一部件包括10部分,每部分的长度是一个随机变量,它们相互独立,且服从同一均匀分布,其数学期望为2mm,标准差为0.05mm,规定总长度为(20?0.1)mm时产品合格,试求产品合格的概率。

2.根据中国政府于2000年进行的第五次全国人口普查,全国出生人口性别比为117,即在出生的婴儿中,男女比率达到117:100,某地区有7000名产妇,试估计她们的生育情况。

3.为确定某城市成年男子中吸烟者的比例p,任意调查n个成年男子,记其中的吸烟人数为m,问n至少为多大才能保证mn与p的差异小于0.01的概率大于95%。 4.设某生产线上组装每件产品的时间服从指数分布,平均需要10min,且各产品的组装时间是相互独立的。(1)试求组装100件产品需要15h至20h的概率;(2)保证有95%的可能性,问16个h内最多可以组装多少件产品?

5.一家有500间客房的大旅馆的每间客房装有2kw(千瓦)的空调机。若开房率为80%,需要多少kw的电力才能有99%的可能性保证有足够的电力使用空调机。

6.某校共有4900个学生,已知每天晚上每个学生到阅览室去学习的概率为0.1,问阅览室要准备多少个座位,才能以99%的概率保证每个去阅览室的学生都有座位 。

7.某餐厅每天接待400名顾客,设每位顾客的消费额(元)服从(20,100)上的均匀分布,且顾客的消费额是相互独立的,试求:

(1)该餐厅每天的平均营业额;

(2)该餐厅每天的营业额在平均营业额±760元的概率。

13

8.报童沿街向行人兜售报纸,设每位行人买报的概率为0.2,且他们是否买报是相互独立的。试求,报童在向100位行人兜售之后,卖掉报纸15-30份的概率。

9.设随机变量X1,X2,?,Xn独立同分布,EXi?0,DXi?1(i?1,2,?,n),证明对任

1n21意的??0,有p{?Xi??}?。

ni?1?习题五 (A)

1.设样本X1,X2,X3,X4来自正态总体X~N(?,?),?已知,而?未知,则下列各式中哪些不是统计量。

22141(1)X??Xi;(2)M?X1?X2??;(3)R?24i?1??(Xi?14i?X)2;

(4)S?21(5)N?(Xi?X)2;?3i?14?(Xi?14i??)2。

?22.从一批零件中随机抽取8件,测得它们的重量(单位:kg)为

230, 243, 185, 240 ,228, 196,246,200。

试计算出样本均值和样本方差。

3. 设X~N(0,0.25),X1,X2,?,X7,要使??Xi?172i~?2(7),则?为多少。

4. 设X1,X2,?,X10为总体X~N(9,40)的一个样本,求样本均值与总体均值之差的绝对值大于1的概率。

5. 求总体N(20,3)的容量分别为10,15的两独立样本均值差的绝对值大于0.3的概率。 6. 设总体X~N(72,10),为使样本均值大于70的概率不小于0.90,样本容量n至少应取多大?

7. 设X1,X2,?,Xn为总体X~N(1,?)的样本,X为样本均值,已知

22Y?aX?b~N(0,1),则a,b取何值。

8. 查表求标准正态分布的下列分位数:

u0.4,u0.2,u0.1,u0.05。

9. 查表求?分布的下列分位数:

2 14

?02.95(5),?02.05(5),?02.99(10),?02.01(10)。

10.查表求t分布的下列分位数:

t0.05(3),t0.01(5),t0.10(7),t0.005(10)。

11.证明F分布上侧分位数的关系式F?(m,n)?侧分位数:F0.95(4,6),F0.975(3,7),F0.99(5,5)

12.设随机变量X的分布函数为F(x),F?为其上侧分位数, 证明:(1)P?X?F1?????;(2)PF1???X?F?1,并查表求F分布的下列上

F1??(n,m)?2??1??。

213. 试给出统计量与枢轴量的一些例子,并说明统计量与枢轴量的差别。

14. 设X1,X2,?,Xn,Xn?1为来自总体X~N(?,?)的样本,X1,X2,?,Xn的样本均值为X,样本标准差为S,则统计量

nXn?1?X服从应服从什么分布。

n?1S?X?????15. 设X1,X2,?,Xn为总体X~N(?,?)的样本,试计算p??u0.025?。

?/n????22X12?X2?X3216. 设X1,X2,?,X6是来自正态总体X~N(0,1)的样本,则统计量2服

X4?X52?X62从什么分布。

17.设随机变量X1,X2,?,Xn相互独立且都服从0-1分布B(1,P),0?p?1,令

1nX??Xi,试求X的方差。

ni?1(X1,X2,X3,X4,X5)18.设为标准正态总体X~N(0,1)的样本,则常数c为何值时,使

统计量

c(X1?X2)X?X?X232425

服从t分布,自由度为多少?

19.设X1,X2,X3为总体X~N(0,4)的一个样本,当a,b为何值时,统计量

Y?a(4X1?3X2)2?bX32

15

服从?分布,并求其自由度。

20.设总体X~N(?,?),X1,X2,?,X16为来自总体X的一个样本,试求概率

22116?211622p{??(Xi??)?2?}是多少?p{??(Xi?X)2?2?2}是多少?

216i?1216i?1 21.设总体X~N(150,252),现在从中抽取25个样本,求p{140?X?147.5}。 22.设总体X~N(80,202),现在从总体中抽取100个样本,问样本均值与总体均值之差的绝对值大于3的概率是多少?

23.从总体X~N(3.4,62)中抽取容量为n的样本,如果要求其样本均值位于区间?1.4,5.4?内的概率不小于0.95,问n至少应取多大?

24.设总体X~N(12,22),今从中抽取样本X1,X2,?X5 ,问样本均值X大于13的概率是多少?

25.设(X1,X2)是来自正态总体X~N(?,?)的样本,证明X1?X2和X1?X2相互独立。

2?2(B)

1. 设总体X服从以?(??0)为参数的泊松分布,(X1,X2,?Xn)为其一个样本,试求样本和Sn?X1?X2??Xn的确切分布。

??a,Yn???b,试证Xn?Yn???a?b。 2.已知Xn?3. 设(X1,X2,?Xn)是来自均值为,方差为的总体X样本,S2为该样本的样本方差。试证

n2?1?2S?X?nX??。 in?1???i?1?2PPP?4.设总体X服从两点分布b(1,p),即P(X?1)?p,P(X?0)?1?p,其中p是未知参数,

(X1,X2,?Xn)是来自X的样本,求(X1,X2,?Xn)的联合概率分布。

5.设X~t(n)分布,证明:?~F(1,n)。

6.设(X1,X2,?Xn)是总体X的一个样本,Ak为此样本的k阶原点矩。若总体X的k阶

2??ak。 原点矩ak存在,利用大数定律证明Ak???a,Yn???b,试证Xn?Yn???a?b。 7. 已知Xn?

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PPPP

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