概率论与数理统计习题及答案
习题 一
1.写出下列随机试验的样本空间及下列事件包含的样本点. (1) 掷一颗骰子,出现奇数点. (2) 掷二颗骰子,
A=“出现点数之和为奇数,且恰好其中有一个1点.” B=“出现点数之和为偶数,但没有一颗骰子出现1点.” (3)将一枚硬币抛两次, A=“第一次出现正面.” B=“至少有一次出现正面.” C=“两次出现同一面.” 【解】 ()1???1,2,3,4,5,6?,A??13,,5?;(2)???(i,j)|i,j?1,2,,6?,A??(1,2),(1,4),(1,6),(2,1),(4,1),(6,1)?,B??(2,2),(2,4),(2,6),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(4,6),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6)?;(3)???(正,反),(正,正),(反,正),(反,反)?,A??(正,正),(正,反)?,B??(正,正),(正,反),(反,正)?,C??(正,正),(反,反)?,
2.设A,B,C为三个事件,试用A,B,C(1) A发生,B,C都不发生; (2) A与B发生,C (3) A,B,C都发生; (4) A,B,C (5) A,B,C都不发生; (6) A,B,C
(7) A,B,C至多有2个发生; (8) A,B,C至少有2个发生. 【解】(1) ABC (2) ABC (3) ABC
(4) A∪B∪C=ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC=ABC
1
(5) ABC=ABC (6) ABC
(7) ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC=ABC=A∪B∪C (8) AB∪BC∪CA=ABC∪ABC∪ABC∪ABC
5.设A,B为随机事件,且P(A)=0.7,P(A?B)=0.3,求P(AB). 【解】 P(AB)=1?P(AB)=1?[P(A)?P(A?B)]
=1?[0.7?0.3]=0.6
7.设A,B是两事件,且P(A)=0.6,P(B)=0.7, (1) 在什么条件下P(AB (2) 在什么条件下P(AB 【解】(1) 当AB=A时,P(AB)取到最大值为0.6.
(2) 当A∪B=Ω时,P(AB)取到最小值为0.3. 9. (1) 求五个人的生日都在星期日的概率; (2) 求五个人的生日都不在星期日的概率; (3) 求五个人的生日不都在星期日的概率. 【解】(1) 设A1={五个人的生日都在星期日},基本事件总数为75,有利事件仅1个,故 P(A1)=
115
=()(亦可用独立性求解,下同) 577(2) 设A2={五个人生日都不在星期日},有利事件数为65,故
6565
P(A2)=5=()
77(3) 设A3={五个人的生日不都在星期日}
P(A3)=1?P(A1)=1?(
15
)7
10. 从一批由45件正品,5件次品组成的产品中任取3件,求其中恰有一件次品的概率. 【解】与次序无关,是组合问题.从50个产品中取3个,有C50种取法.因只有一件次品,所以从45个正品中取2个,共C45种取法;从5个次品中取1个,共C5种取法,由乘法原理,恰有一件次品的取法为CC24532115种,所以所求概率为
21C45C5P?3.
C50
11.一批产品共N件,其中M件正品.从中随机地取出n件(n 2 (1) n件是同时取出的; (2) n (3) n件是有放回逐件取出的. mn?mn【解】(1) P(A)=CMCN?M/CN (2) 由于是无放回逐件取出,可用排列法计算.样本点总数有PN种,n次抽取中有m 次为正品的组合数为Cn种.对于固定的一种正品与次品的抽取次序,从M件正品中取m件的排列数有PM种,从N?M件次品中取n?m件的排列数为PN?M种,故 mn?mCmnPMPN?MP(A)= nPNmn?mmn由于无放回逐渐抽取也可以看成一次取出,故上述概率也可写成 n?mCmMCN?MP(A)= nCN可以看出,用第二种方法简便得多. (3) 由于是有放回的抽取,每次都有N种取法,故所有可能的取法总数为Nn种,n 次抽取中有m次为正品的组合数为Cn种,对于固定的一种正、次品的抽取次序,m次取得正品,都有M种取法,共有Mm种取法,n?m次取得次品,每次都有N?M种取法,共有(N?M)n?m种取法,故 mn?mP(A)?Cm/Nn nM(N?M)m此题也可用贝努里概型,共做了n重贝努里试验,每次取得正品的概率为m件正品的概率为 M,则取得N?M??M?P(A)?Cmn???1??NN????mn?m 12. 50只铆钉随机地取来用在10个部件上,每个部件用3只铆钉.其中有3个铆钉强度太 弱.若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上,则这个部件强度就太弱.求发生一个部件强度太弱的概率是多少? 【解】设A={发生一个部件强度太弱} 33P(A)?C110C3/C50?1 196013. 7个球,其中4个是白球,3个是黑球,从中一次抽取3个, 计算至少有两个是白球的概率. 【解】 设Ai={恰有i个白球}(i=2,3),显然A2与A3互斥. 3 1C2184C3P(A2)?3?,C735C344P(A3)?3? C73522 35故 P(A214. A3)?P(A2)?P(A3)?0.8和0.7,在两批种子中各随机取一粒,求: (1) 两粒都发芽的概率; (2) 至少有一粒发芽的概率; (3) 恰有一粒发芽的概率. 【解】设Ai={第i批种子中的一粒发芽},(i=1,2) (1) P(A1A2)?P(A1)P(A2)?0.7?0.8?0.56 (2) P(A1(3) P(A1A215. A2)?0.7?0.8?0.7?0.8?0.94 A1A2)?0.8?0.3?0.2?0.7?0.38 3次正面才停止. (1) 问正好在第6次停止的概率; (2) 问正好在第6次停止的情况下,第5次也是出现正面的概率. 1131C1()()45212131224?2 【解】(1) p1?C5()() (2) p2??222325/325 18. 0.3,下雨的概率为0.5,既下雪又下雨的概率为0.1,求: (1) 在下雨条件下下雪的概率;(2) 这天下雨或下雪的概率. 【解】 设A={下雨},B={下雪}. (1) p(BA)?P(AB)0.1??0.2 P(A)0.5(2) p(A19. B)?P(A)?P(B)?P(AB)?0.3?0.5?0.1?0.7 3个小孩,且其中一个为女孩,求至少有一个男孩的概率(小孩为男 为女是等可能的). 【解】 设A={其中一个为女孩},B={至少有一个男孩},样本点总数为23=8,故 P(BA)?P(AB)6/86?? P(A)7/87或在缩减样本空间中求,此时样本点总数为7. P(BA)?20. 6 75%的男人和0.25%的女人是色盲,现随机地挑选一人,此人恰为色盲,问此人是男人的概率(假设男人和女人各占人数的一半). 【解】 设A={此人是男人},B={此人是色盲},则由贝叶斯公式 4