湍流模型推导
对纳维斯托克斯方程做时间平均处理，即采用雷诺平均法（RANS：Reynolds-Averaged Navier-Stokes），可以得到湍流基本方程。
对于任意变量?，按照雷诺时间平均法，可以拆分为如下格式：
??????
“-” 表示对时间的平均，上标“’”代表脉动量。
按照??1?T?t??Tt?dt计算平均值，将流动变量ui和p转换成时间平均和脉动值之和
ui?u?u?，p?p?p?
为了使方程组更具有封闭性，必须模化雷诺应力，引入模型使方程组封闭。其方法之一是湍流粘性系数法。按照基于Boussinesq的涡粘假设湍流粘性系数法有
??ui?uj??ui?u?j??t????x?j?xi?2??????k??t?ui??ij ?3??xi????上述方程式中?t为涡粘系数，ui为时均速度，?ij是Kronecker符号，k为湍流动能（当
i?j时，?ij?1；当i?j时，?ij?0）。
k?ui?ui? 2确定涡粘性系数?t就是整个湍流模型的目标关键，确定湍流粘性系数法具体可以分为零方程模型、一方程模型、和二方程模型等等。
一 零方程模型
零方程模型也可称作代数模型，直接建立雷诺应力和时均值的代数关系，从而把涡粘系数和时均值联系到一起的模型。
1 混合长度模式
混合长度模式是基于分子运动的比拟，在二维剪切层中导出的。混合长度l类比分子运动自由程，在经历混合长度的横向距离上，脉动速度正比于混合长度及流向平均速度梯度，即：
u??l?U （1.1-1） ?y而粘性系数应当正比于脉动速度和混合长度之积（分子粘性系数正比于自由程和分子热运动速度之积），从而涡粘系数有如下的估计式：
vt?u?l?l2?U （1.1-2） ?y在湍流输运中，涡粘系数和沃扩散系数之比定义为普朗特数Prt，即：
Prt?vt?t （1.1-3）
工程计算中通常采用Prt?0.8~1.0。
给定混合长度表达式后，混合长度模式得以封闭。 在边界层的近壁区，混合长度和离避面的距离成正比：
l??y （1.1-4）
??0.4，即Karman常数。利用混合长度模式，可以导出湍流边界层中平均速度的对
数律。在自由剪切湍流中，混合长度和我剪切层的位移厚度成正比。
在一般三维湍流中，Smagorinsky建议涡粘系数公式为：
1/2vt?l2?2SijSij? （1.1-5）
由于代数涡粘模式应用方便，在早期简单的混合长度模式以后，在各种其他模式的代数涡粘模式相继问世。目前在工程上广泛使用的代数模式是Baldwin-Lomax模式。
2 B-L湍流模型
1978年，Baldwin和Lomax提出了代数湍流模型——B-L湍流模型，这是一个双层流动模型，内层的湍流强度由普朗特混合长度决定，外层的湍流强度由由平均流动和长度尺度决定。其中普朗特混合长度的应变率采用涡量表示。
湍动能的平均流动方程的影响是可以忽略的。 涡粘系数如下
??vt?inn,y?ycvt??
??v,y?yc?tout（1.2-1）
内层涡粘系数
?vt?inn?l2? （1.2-2）
???ijk?U是当地的平均涡量绝对值；l是考虑壁面修正的混合长度： ?xjl?ky1?e?y??/A?? （1.2-3）
??0.4，即Karman常数，A??26，y??u?y/?w。?w是壁面处的流体运动粘度系数，u?是壁面摩擦速度，u???w/?。
外层涡粘系数是
?vt?out?CFwakeFKleb?y? （1.2-4）
式中，Fwake是ymaxFmax与Cwkymax小值。
??u2?v2?w2?max??u2?v2?w2?min?/F2max中的最
Fwake称为尾流函数；Fmax和ymax分别是函数F?y??y?1?exp?y?/A?的最大值和最
大值的坐标；Fkleb?y?是边界层外层的间歇性修正，称为Klebaboff间歇函数：
????Fkleb?1?5.5?Ckleby/ymax?式中，Cwk?1，C?0.02668，CKleb?0.3。
?6?1? （1.2-4）
代数模式的最大优点是计算量少，只要附加粘性模块，就可以利用通常的Navier-Stokes数值计算程序，所以它是最受工程师欢迎的方法。代数模式没有普适性，不过它比较容易针对特定的流动状态做各种修正。比如，Baldwin-Lomax模式主要适用于小曲率的湍流边界层。对于有压强梯度和曲率的湍流边界层，可以在混合长度上加以修正。
代数模式的最大缺点是它的局限性，代数表达式中雷诺应力或标量通量中和当地的平均变形率和平均标量梯度有关。代数模式完全忽略湍流统计量之间关系的历史效应，而历史效应很难做局部的修正。B-L湍流模型在工程计算中存在的主要不足是，对于强逆压梯度的非平衡湍流边界层；分离区附近以及分离区内部的流动；激波/附面层相互干扰流动；超声速及高超声速激波附近存在剧烈涡量变化的流动等，其计算精度明显无法满足工程需要。
二 一方程模式
为了弥补混合长度模型的湍流动能未反映湍流发展过程，提出了一方程模型，如SA湍流模型。
SA湍流模型
SA湍流模型最近这些年变的比较流行，因为它对计算复杂流动有很强的鲁棒性，相比于B-L湍流模型，SA湍流模型中的湍流的涡粘度场是连续的；而相比于k??模型，SA湍流模型占用的CPU和内存更少，并且鲁棒性也不错。
SA湍流模型是基于另外一个涡粘性的输运方程，这个方程含有对流项，扩散项和源项，此应用是Spalart和Allmaras1992年提出的，Ashford和Powell（1996年）对此进行了改进以避免生成项出现负值。
湍流粘度如下
~f vt?v v1（2.1-1）
~是湍流的脉动速度，f由下式定义 其中，vv1fv1??3?3?cv1 （2.1-2）
~与分子粘度v的比值，即 其中?是湍流的脉动速度v~v?? （2.1-3）
v~由输运方程获得 湍动能的脉动量v?v?~1~?v~??cv~~?V??v?????v??1?cb2?v b2?v??Q?t? （2.1-4）
?式中，V表示平均速度，Q表示源项，?，cb2为常数。
源项包括生成项和耗散项，即
~P?v~??v~D?v~? （2.1-5） Q?v其中，
~P?v~??cSv~ （2.1-6） vb1~??v~~vD?v??cw1fw?? （2.1-7）
?d?2生成项可由下式获得
~S?Sfv3?fv2?1~vf （2.1-8） 22v2?d?1??cv2?3；fv3??1??fv1??1?fv2? （2.1-8）
?式中，d表示到壁面的最小距离，S表示涡量的大小
在生成项中，fw由下式获得
6?1?cw?3fw?g??g6?c6?? （2.1-9）
w3??6其中
g?r?cw2?r?r?；r?~22 S?d（2.1-10）
6~vSA湍流模型中的常数值如下：
cw1?cb1?2??1?cb2??，cw2?0.3，cw3?2，cv1?7.1，cv2?5，cb1?0.1355，
cb2?0.622，??0.41，??23
三 二方程模型
1 标准k??模型
以一方程模型为基础，引入湍流耗散率?。该模型是由Spalding和Launder于1972年
提出的。湍流耗散率?定义为：
???ui?????? （3.1-1） ????xk??