9.7 圆锥曲线的综合问题
挖命题 【考情探究】
5年考情 考点 内容解读 考题示例 考向 关联考点 预测热度 1.定值与 掌握与圆锥曲线有关的定定点问题 值与定点问题 2.最值与 掌握与圆锥曲线有关的参范围问题 数范围问题 3.存在性了解并掌握与圆锥曲线有问题 关的存在性问题 2018课标Ⅰ,19,12分 2017课标Ⅰ,20,12分 2016课标Ⅱ,20,12分 2015课标Ⅱ,20,12分 定值问题 定点问题 范围问题 存在性问题 角平分线的 性质,斜率公式 根与系数的 关系、斜率公式 椭圆的几何性质 根与系数的关系、 斜率公式 ★★★ ★★☆ ★★★ 分析解读 1.会处理动曲线(含直线)过定点的问题.2.会证明与曲线上的动点有关的定值问题.3.会按条件建立目标函数,研究变量的最值问题及变量的取值范围问题,注意运用“数形结合”“几何法”求某些量的最值.4.能与其他知识交汇,从假设结论成立入手,通过推理论证解答存在性问题.5.本节在高考中围绕直线与圆锥曲线的位置关系,展开对定值、最值、参数取值范围等问题的考查,注重对数学思想方法的考查,分值约为12分,难度偏大.
破考点 【考点集训】
考点一 定值与定点问题
1.(2018重庆綦江模拟,9)已知圆C:x+y=1,点P为直线x+2y-4=0上一动点,过点P向圆C引两条切线PA,PB,A,B为切点,则直线AB经过定点( ) A. B. C. D. 答案 B
2.(2018河北五校12月联考,20)已知椭圆C: + =1(a>b>0)的离心率为 ,右焦点为F,上顶点为A,
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且△AOF的面积为 (O是坐标原点). (1)求椭圆C的方程;
(2)设P是椭圆C上的一点,过P的直线l与以椭圆的短轴为直径的圆切于第一象限,切点为M,证明:|PF|+|PM|为定值.
解析 (1)设椭圆的半焦距为c,
由已知得 ?
∴椭圆的方程为+y=1.
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(2)证明:以短轴为直径的圆的方程为x+y=1,F(1,0),
设P(x0,y0),则 + =1(0 ∴|PF|= - = - - 22 = - = - =(2-x0). 又l与圆x+y=1相切于M, ∴|PM|= - = - = -==x0, 22 ∴|PF|+|PM|=(2-x0)+x0= ,为定值. 考点二 最值与范围问题 1.(2018河北百校联盟4月联考,16)已知抛物线C:x=8y的焦点为F,准线为l1,直线l2与抛物线C相切于点P,记点P到直线l1的距离为d1,点F到直线l2的距离为d2,则 答案 2.(2018安徽江南十校4月联考,20)已知离心率为 的椭圆C的焦点在y轴上,且以椭圆的4个顶点为顶点的四边形的面积为4,过点M(0,3)的直线l与椭圆C相交于不同的两点A、B. (1)求椭圆C的方程; (O为坐标原点).求当|AB|< 时,实数λ的取值范围. (2)设P为椭圆上一点,且 + =λ 解析 (1)设椭圆的方程为 + =1(a>b>0),由题意可知e= = ,得 = ,a=2b.又由题意知2ab=4,所以 22 的最大值为 . a=2,b=1,故椭圆方程为x+ =1. (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x3,y3). 当直线AB的斜率不存在时,直线AB的方程为x=0,此时|AB|=4> ,与题意不符. 2 22当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=kx+3,由 消去y得(4+k)x+6kx+5=0, 所以Δ=(6k)-20(4+k), 由Δ>0,得k>5, 则x1+x2= - 2 22 ,x1·x2= , y1+y2=(kx1+3)+(kx2+3)= , 因为|AB|= - - < , 所以 - · 2 - < , 2 解得- 即(x1,y1)+(x2,y2)=λ(x3,y3), + =0, 所以当λ=0时,由 得x1+x2= =0,y1+y2= =0, 解得k∈?, 所以此时符合条件的直线l不存在; 当λ≠0时,x3= - = ,y3= - = , 因为点P(x3,y3)在椭圆上, 所以 + =1, 化简得λ= 22 - ,因为5 2 所以3<λ<4,则λ∈(-2,- )∪( ,2). 综上,实数λ的取值范围为(-2,- )∪( ,2). 考点三 存在性问题 1.(2017福建福州模拟,20)已知点P是直线l:y=x+2与椭圆 +y=1(a>1)的一个公共点,F1,F2分别为该椭圆的左,右焦点,设|PF1|+|PF2|取得最小值时椭圆为C. (1)求椭圆C的标准方程及离心率; (2)已知A,B为椭圆C上关于y轴对称的两点,Q是椭圆C上异于A,B的任意一点,直线QA,QB分别与y轴交于点M(0,m),N(0,n),试判断mn是不是定值,如果是定值,求出该定值;如果不是,请说明理由. 得(a2+1)x2+4a2x+3a2=0. 解析 (1)联立 ∵直线y=x+2与椭圆有公共点, 2 ∴Δ=16a-4(a+1)×3a≥0,得a≥3,又a>1,∴a≥ , 由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=2a, 故当a= 时,|PF1|+|PF2|取得最小值, 此时椭圆C的标准方程为 +y=1,离心率为 = . (2)mn为定值.设A(x1,y1),B(-x1,y1),Q(x0,y0)(y0≠y1),且已知M(0,m),N(0,n), 由题意知kQA=kQM,∴ - = 4222 2 - - , 即m=y0-∴mn= - - - = - ,同理,得n= , , - - - · = - 又 + =1, + =1,∴ =1- , =1- , - - - - ∴mn== =1, - - ∴mn为定值1. 2.(2017湖南湘中名校联考,20)如图,曲线C由上半椭圆C1: + =1(a>b>0,y≥0)和部分抛物线C2:y=-x+1(y≤0)连接而成,C1与C2的公共点为A,B,其中C1的离心率为 . (1)求a,b的值; (2)过点B的直线l与C1,C2分别交于点P,Q(均异于点A,B),是否存在直线l,使得以PQ为直径的圆恰好过点A?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由. 2 解析 (1)在C1,C2的方程中,令y=0,可得b=1, 且A(-1,0),B(1,0)是上半椭圆C1的左、右顶点. 由e= = 及a-c=b=1可得a=2,∴a=2,b=1. (2)存在.由(1)知,上半椭圆C1的方程为 +x=1(y≥0). 由题易知,直线l与x轴不重合也不垂直, 设其方程为y=k(x-1)(k≠0). 代入C1的方程,整理得(k+4)x-2kx+k-4=0.(*) 设点P的坐标为(xP,yP), ∵直线l过点B,∴x=1是方程(*)的一个根. 2 2 2 2 222 2