是否有定义无关。
讨论2：当P沿一条固定的路径l，趋于Po：p?p0,f(x,y)?A时，能不能说。 f(x,y)在Po存在极限？（不能）
x2y例：证明f(x,y)?4在原点（0,0）不存在极限
x?y2分析：∵极限定义的意思是：不管点P(x,y)以什么方式和什么路径超时于Po(a,b)时，都有f(x,y)?A，因此要证f(x,y)在P(a,b)不存在极限，只须证明，当P(x,y)沿两条不同的路径超于P0(x,y)时，f(x,y)超于不同的两个数；或沿某一条路径
P?P0,f(x,y)不存在极限不存在即可。（∴可通过观察取两条特殊路径证之）.
证明：当动点P(x,y)沿直线y?kx(k?0)趋于点P0?(0,0)时有：
x2yx2y (?在y?kx时，x?0?y?0)?0。 lim4?lim4x?0x?y2x?0x?y2y?0x2yx41?lim?当动点P(x,y)沿抛物线y?x趋于（0,0）时。lim4
x?0x?y2x?0x4?x42y?02∴f(x,y)在点（0,0）不存在极限。
x2y2课堂作业：证明：f(x,y)?22在（0,0）不存极限。 2xy?(x?y)取路径：1）y?x；2）x轴:y?0
作业：P155 1, 3, 4
前面我们讲了P?P0时的极限概念，下面对这个概念加以扩展，在一元函数有：
x???limf(x)?b????0,?B?0,?x:x?B(或x??B)有|f(x)?b|??，类似的定义： 1）：mil(,)fxy?A?0,???0,x???y?yo?0B?(,?:)??，0?|Pxy|x?B与?y?yo??
有|f(x,y)?A|??
2）：mil(,)fxyA?x??y????0,???0B,?0?1B(,?:)?，x?ByB2Pxy?与2?1
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有|f(x,y)?A|??
3）：mil(,)fxyA???0,???0B,??10B?x???y???(,?:)Pxy，x??B2?B与y1
有|f(x,y)?A|??
上面我们讲的二元函数的二重极限在本质上是：x,y是两个互不相关的，互相独立的变量，当它们以独立的，任意方式同时x?a，y?b时，都有f(x,y)?A，就称A是f(x,y)在P0(a,b)点的二元函数的二重极限（即：极限）. 二重极限的性质和有关定理与一元函数的极限相似，略： 下面讲一种新的极限：二次累次极限
（2） 二次累次极限：
（1）若当x?a时（y看作常数），函数f(x,y)存在极限，设limf(x,y)??(y)，
x?a且当y?b时，?(y)存在极限B：lim?(y)?B，则称B叫f(x,y)在点P(a,b)先x后yy?b的二次累次极限：limlimf(x,y)?B，
y?bx?a（1）若当y?a时（x看作常数），函数f(x,y)存在极限，设limf(x,y)??(x)，
y?b且当x?a时，?(x)存在极限C：lim?(x)?C，则称C叫f(x,y)在点P(a,b)先y后xx?a的二次累次极限：limlimf(x,y)?C，
x?ay?b注：一般情况下B不一定等于C.
实际上二次累次极限就是两次求一次元函数的极限，∴只须用求一元函数的极限方面的知识就能求二次累次极限。
例：求limlimx?y
x?1y?2x2?xy?y2因为二重极限和二次累次极限是两个完全不同的概念，∴它们没有必然的联系。 注：1. 因为两个累次极限：limlimf(x,y)与limlimf(x,y)实上是对x,y的一元函数不
y?bx?ax?ay?b同顺序的极限，所以两个累次极限可能不同，甚至一个存在另一个不存在；
例如：f(xy)?xysin11?ysin yx 10
limlimf(x,y)?limlim(xysinx?0y?0x?0y?01111?ysin)?lim0?0,而limlim(xysin?ysin)
x?0y?0x?0yxyx不存在（xysin11?0?0存在，x?0时ysin不存在）；而累次极限可以不存在.yx注2. 二重极限存在，但累次极限可能不存在；或两个累次极限存在相等，但二重极限可能不存在：
x2y例如：f(x,y)?4，在原点（0,0）两个累次极限存在且相等，但二重极限不2x?y存在；
例. 证明：函数f(xy)?xysin在.
证明：∵|f(x,y)?0|?|xlim???11?ylim|?|x|?|y|.???0, yx11?ysin在（0,0）二重极限存在，但累次极限不存yx?2,则?P(x,y):0?|x?0|??,0?|y?0|??有|f(x,y)?0|??#
显然，累次极限的计算要比二垂极限简单得多，所以我们希望通过累次极限来计算二重极限，那么在什么条件下它们相等吗？
4. 定理：若二元函数f(x,y)在点P(a,b)的二重极限和累次极限（limlimf(x,y)
x?ay?b或limlimf(x,y))都存在，则：limf(x,y)?limlimf(x,y)(或?limlimf(x,y))
y?bx?ax?ay?bx?ay?by?bx?a推论：（充分条件）：若下面三个极限都存在：
limf(x,y)?A,limf(x,y)??(y),limf(x,y)??(x)，则两个累次极限存在且相
x?ay?bx?ay?b等；等于其二垂极限：limf(x,y)?limlimf(x,y)(或?limlimf(x,y))
x?ay?bx?ay?by?bx?ax2y例：已知：f(x,y)?2存在点（0,0）存在二重极限，求limf(x,y)； 2x?0x?yy?0作业：P156 7
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4. 二元函数的连续性
我们曾经定义了一元函数一元函数f(x)在一点：x?a连续：若limf(x)?f(a)，
x?a则称f(x)在点a连续.
这个定义我们可以推广到二元函数和n元函数上去：
（1）定义：设二元函数z?f(x,y)在区域D有定义，点P(a,b)?D，若：
limf(x,y)?f(a,b)，则称f(x,y)在P(a,b)连续.
x?ay?b讨论：上面定义用“点表示法”怎样书写：
设函数z?f(p)在区域D有定义，点Po(a,b)?D，若limf(p)?f(p0)，则称二元函
P?Po数z?f(p)在点P0连续。
即：设P0是区域D的点，f(p)在P0连续?limf(P)?f(P0)，
P?P0例：已知f(x,y)?x2?y2在点P0(1,2)连续,求limf(P).
P?P0定义：若二元函数f(x,y)在区域D的每一点都连续，则称f(x,y)在区域D连续。 2、连续函数的性质（P150）
1）若f(P)与g(P)在点Po都连续，则f(P)?g(P)；f(P)g(P)，在点P0也连续，称为连续函数的四则运算。
2）连续函数的复合函数也连。（P150） 3）Th4（保号性）
4）若二元函数z?f(x,y)关于x或y的一元是初等函数，则称z?f(x,y)是二元初等函数。二元初等了函数在有定义的点P(a,b)都连续，（一般地，用一个解析式表达的二元函数都是初等函数）。
请同学们自学P147?P152 Th3—Th8 下面介绍一个间断点的概念：
请大家想一想f(x,y)在点P(a,b)连续应满足几个条件：
1）f(x,y)在P(a,b)有定义；2）f(x,y)的P(a,b)存在极限；3）f(x,y)在P(a,b)的极限值等于其函数值。
f(P)（g(P0)?0）g(P) 12