多元函数微分法

第十章 多元函数微分学

§10.1 多元函数:

一、平面点集

1、定义:把全体有序实数对(x,y)组成的集合,{(x,y)|?x?R,?y?R}称为二维空间,记为R2(或R?R),(实际上这里的二维空间的概念就是解析几何中的二维空间概念)。下面我们看一看这里的二维空间有一个什么样的几何意义,显然?(a,b)?R2都唯一对应着直角坐标平面的一个点,反之然,∴R2中的有序数对与直角平面上的点是一一对应的,它们的本质是一样的,可以不加区别,所以:可以把R2看成直角坐标平面,坐标平面也可以看成是二维空间R2,以后把(a,b)叫点P的坐标,而把R2看成是平面全体点的集合.

2、平面上两点的距离(由解析几何知:):设R2中的两点P1(x1,y1) P2(x2,y2),

(x1?x2)2?(y1?y2)2叫P1与P2两点间的距离. 则称d?|P1?P2|?2?P1,P2,P3?R有PP12?PP13?P2P3叫三角不等式.

请同学们回忆:数轴上邻域的概念(一维空间的领域):

a?r a a?r

· · · 3、定义2:设P(a,b)?R2,以点P(a,b)为中心,?r?0为半径的全体点(x,y)组成的集合:(x,y)|(x?a)2?(y?b)2?r叫以点P(a,b)为中心,r为半径的圆形领域记为U(P,r):即U(P,r)?(x,y)|(x?a)2?(y?b)2?r 从几何上看:圆形领域就是平面上的一个开圆:

讨论:集合?(x,y)||x?a|?r,|y?b|?r?表示一 个什么图形?

以P(a,b)为中心,2r为边长的开矩形的全体点组成的集合?(x,y)||x?a|?r,|y?b|?r?叫以P(a,b)为中心的r半径的方形邻域.

∵圆中有方,方中有圆,∴方形领域与圆形领域是等价的.∴以后在证明题目时,可以取圆形领域,也可以取方形领域,都一样.

把圆形领域和方形领域统称为P(a,b)为心,r为半径的领域,记为U(P,r).

1

????·P

去掉邻域中心P后的集合叫去心领域,记为U(P,r). 讨论:去心领域怎样表示:

圆形去心领域,(x,y)|0?(x?a)2?(y?b)2?r 方形去心领域:?(x,y)|0?|x?a|?r,0?|y?b|?r? 当不需指出半径时,领域可简写为U(P)或U(P)

有了领域的概念后,就可以定义两个特殊的概念:开区域和闭区域。

3、定义3:设G是平面点集,P是平面上一点。 1)若?r?0,有U(P,r)?G,则称P是G的内点。

2)若?r?0,U(P,r)内既含有G中的点,同时又含有不属于G的点,则称P是G的界点,并把全体界点组成的集合叫点集的边界.

1)讨论:G的内点和界点的区别在哪里?

内点是,存在一个正数r,使以P为中心r为半径的领域U(P,r)完全包含在G中,若U(P,r)有G中的点同时也有不属于G的点P就是界点

讨论:下面P点是内点还是界点,为什么?

2)G的界点有多少个?都属于G吗?G的边界是否属于G? (1)

3)若?r?0,领域U(P,r)内含有G的无限多个点,则称点P叫G的聚点,(讨论如上图,内点是不是聚点?界点呢?(不一定!)聚点是否一定属于G?)

4)若?l?0,使G?U(O,l),则称G是有界点集,否则叫无界点集。 讨论:下面点集是有界点集还不是无界点集? 1)G=?(x,y)|x2?y2?1?

2)第一象限:G=?(x,y)|x?0,y?0?

3)G=?(x,y)||x?y|?1?(?G??(x,y)|?1?x?y?1?

2

oo??(2)G{P} (3)

·P

·P ·Po

4、定义:设G是平面点集:(开、闭区域统称为区域)

1)若G的任意点P都是G的内点,且G的任意两点都能用属于G的折线连接起来(称G的连通性)则称G是开区域。(如上图)

2)由开区域和它的边界构成的区域G的闭区域。

讨论:下列点集G是不是开或闭区域。并指出它的有界性和内点、聚点和界点。 1)G=?(x,y)|1?x2?y2?2?(开区域,有界…) 2)G=?(x,y)|1?x2?y2?2? 3)G=?(x,y)|x2?y2?2?

4)G=?(x,y)|??0,y?0?(闭区域,无界)

5)G=?(x,y)|x2?y2?1,且x,y?0?(不是区域(—?没有内点;只有界点集) 6)G=?(x,y):y?x2?(∵y?x2是区域的边是,∵y?x2表示抛物线下方全体点组成的点集,不含边界)

5、有界区域的直径:设G是有界区域,把

sup?|P1?P2|:P1,P2?G}叫有界区域的直径,记为:d(G):

d(G)?sup?|P1?P2|:P1,P2?G}.

讨论:下列点集G的直径d(G)=?

1)G=?(x,y)|x2?y2?1? 2)长方形:G=?(x,y)|a?x?b;c?y?d? 3) 是无界区域(没有直径) 4)G?R2,

.注:上面的定义及定理(概念)可以推扩到n维空间上去.

例:描绘下列点集,并指出开、闭性,有界性,聚点、界点及边界。

??x2y2z22)G=?(x,y,z)|2?2?2?1?

abc??3)G=?(x,y,z)|0?x,0?y,0?z且x?y?z?1? 1)G=?(x,y)|xy|?1?

解:1)G是二维空间R2的点集,∵|xy|?1??1?xy?1,∴点集G的边界是

xy?1与xy??1(是无界闭区域)

2)G是二维空间R3的点集,边界是曲面x2/a2?y2/b2?z2/c2?1,∴G是椭球

3

内部的点,不含托球面上的点,是有界开区域.

3)是R3的点集,边界是x?0,y?0,z?0三个坐标面及平面x?y?z?1,∴G是这四个面围成的四面体的全体点,是有界闭区域。

作业P152 1、5

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