此式是人造地球卫星稳定运行速度的决定公式。
人造地球卫星在圆轨道上的运行速度是随着高度的增大而减小的,由于人造地球卫星的发射过程中必须克服地球引力做功,从而增大了卫星的引力势能,故要将卫星发射到距地球越远的轨道,需要克服地球的引力做功就越多,在地面上需要的发射速度就要越大。其发射速度的具体数值由预定轨道的高度决定,在第一宇宙速度(7.9 km/s)和第二宇宙速度(11. 2 km/s)之间取值。要明确三个宇宙速度均指发射速度。而第一宇宙速度(7.9 km/s)既是卫星的最小发射速度又是卫星的最大运行速度。 人造地球卫星的三个发射速度分别是: 第一宇宙速度(环绕速度):v=7.9千米/秒;(地球卫星的最小发射速度) 第二宇宙速度(脱离速度):v=11.2千米/秒;(卫星挣脱地球束缚的最小发射速度) 第三宇宙速度(逃逸速度):v=16.7千米/秒。(卫星挣脱太阳束缚的最小发射速度) 例8:1999年5月10日,我国成功地发射了“一箭双星”,将“风云一号”气象卫星和“实验五号”科学实验卫星送入离地面高870km的轨道。这颗卫星的运行速度为( ) A、7.9km/s B、11.2 km/s C、7.4 km/s D、3.1 km/s 【审题】 题目中叙述的是人造地球卫星的“发射”与“运行”,考查的是人造地球卫星的“发射速度”与“运行速度”的物理意义。此题给出的四个速度中有三个具有特定的物理意义。只要明确这三个特殊速度的物理意义,此题求解也就十分容易。此题可有两种不同的解法,一是,根据题中的三个特殊速度而作出判断;二是根据题中给出的卫星高度h=870km和其他的常量计算出此卫星的实际运行速度,即可选出正确答案。 【解析】
(方法一)判断选定法
对选项A,v=7.9km/s的速度是地球的第一宇宙速度,是发射速度。以此速度发射的人造地球卫星会以v=7.9km/s的速度环绕地球低轨道运行。其轨道半径近似等于地球半径,即r≈R地,不会处在h=870km的轨道上。故A选项错误。
对选项B,v=11.2km/s是地球的第二宇宙速度,是发射速度,以此速度发射的人造地球卫星会脱离地球的引力范围,飞到距地球的“无限远处”(在理论上此卫星的轨道半径r=∞,其绕地球运行速度v=0),不会稳定运行在h =870km的轨道上,故B选项错误。 对选项C,v=7.4km/s<7.9km/s(第一宇宙速度),则肯定是卫星的运行速度。但是否以此速度运行的卫星就一定处在h=870km的轨道上?还要计算判定。然而,由于又在“D选项中”有v=3.1km/s是地球同步卫星运行速度,而同步卫星的轨道高度是36000km而不是870km。故运用排除法即可得知C选项正确。
对选项D,v=3.1km/s必然是同步卫星的运行速度,而同步卫星的轨道高度是距地球赤道地面36000km ,而不是870km。故D选项错误。 (方法二)计算选定法
GMmv2?m2(R?h),则有(R?h)由于地球的万有引力提供了人造地球卫星的向心力,故得
GMv=R?h,代入引力常量G=6.67×10-11 Nm2/Kg2,地球质量M=5.98×1024Kg,地球半
径R=6400km和卫星的轨道高度h=870km。可得v=7.4km/s,即此卫星的运行速度为7.4km/s。故C选项正确。
6、必须区别由万有引力、重力、向心力构成的三个等量关系式的不同
针对天体(行星,卫星)和人造地球卫星的运行问题(包括线速度、周期、高度 ),可以看作匀速圆周运动,从而运用万有引力定律。这类“天上”的物体作匀速圆周运动的向心力仅由万有引力提供。对于地面物体,其重力由万有引力产生,若忽略随地球自转的影响,则其重力等于万有引力。由于 “天上”的物体(如行星、卫星)与地面上的物体虽然遵守相同的牛顿力学定律,但也有本质的区别,通常在解决卫星问题时要特别注重以下三个等量关系:
若万有引力提供向心力,则有 GMm/r2 =ma向 若重力提供向心力, 则有 mg= ma向 若万有引力等于重力, 则有 GMm/r2 =mg
以上三式不仅表现形式有异,而且其物理意义更是各有不同,必须注意区别辨析。同时因向心加速度a向又具有多种不同的形式,如a向 =v2/r =ω2r= 4π2 r/T2 ……则可以得以下几组公式:
(1)由 GMm/r2 =ma向 得
GMm/r2 =ma向→a向=GM/r2→a向∝1/r2。
GMGMm/r2 =m v2/r→v =
r→v∝1/r
GM33rGMm/r2 =mω2r→ω=→ω∝1/r
GMm/r2=m4πT 2 r/T2→T=2π
r3GM →T∝r3
对于以上各式,“中心天体”(如地球)一定,则其质量M是一定的。因此“环绕天体”(卫星)绕其做匀速圆周运动的向心加速度a向、运行速度v、运行角速度ω、运行周期T仅与距离r有关。即以上各量仅由距离r即可得出,故以上各式可称之为 “决定式”。这组决定式适应于用 “G、M、r”表示待求物理量的题目。 (2)由 mg= ma向可得 mg= ma向→a向=g mg= m v2/r→v=
gr→v∝r
gmg= mω2r→ω=r→ω∝1/r
mg= m4π2 r/T2→ T=2π
rg→T∝r
以上各式之中,作匀速圆周运动的物体(如卫星)的运行速度v、角速度ω 、周期T由距离r和重力加速度g共同决定。其中的“g“也是一个随距离r而变化的变量,而不能认为是一个恒量。这组公式是由GMm/r2 =mg的代换关系得到的,一般适应于已知“g、r”而不知“G、M”的题目。
(3)由GMm/r2 =mg 得,对于地面上的物体可由r=Ro (Ro为地球半径),g=go(go为地球表面的重力加速度)若忽略地球自转,则有GMm/ R2o =m go。即GM= go R2o——此即所谓的“黄金代换”,可用来作为“G、M”与“go 、Ro”之间的等量代换。----------这一关系
在解题中经常用到。 例9:(2006年五市区联考)设有两颗人造地球卫星的质量之比为m1:m2 =1:2,其运行轨道半径之比为R1:R2 =3:1,试求此两颗卫星运行的: ①线速度之比,②角速度之比,③周期之比,④向心加速度之比。
【审题】根据此题要求求解的四个“比”值,其给定的已知条件中的“m1:m2 =1:2”是无用的“干扰项”,只须运用已知条件“R1:R2 =3:1”即可求解,但是必须注意所用公式。因为只是已知两颗卫星的轨道半径的比例关系,故而求解时也只能选用上面(1)中的“决定式”,而不能选用(2)中的公式。
【解析】人造地球卫星在轨道上运行时,所需要的向心力等于地球的万有引力,由F引=F向可得,
GM① GMm/r2 =m v2/r,则v =
r所以,
V1?V2R2?1/3R1。
如果此处运用了v=
gr,而认为v∝r,则可得到
V1?V2R2R1=
31,显然这是错误
的。因为对于这两颗卫星而言其公式v=
gr中的“g”是不同的。
3R2R13?1GM?3?② 因为GMm/r2 =mω2r,有ω=r,故,2?1g??ω=r而认为ω∝1/r,则可得,2掉了式中“g” 的不同。
1=
27;如果此处运用公式
R2R11=
3,显然也是错误的。其原因仍是忘
③ 因为GMm/r2 =m4π2 r/T2 ,则,T=2π
T13327r33R231GM,故有T2===1。
R13如果此处运用了T=2π
R13T1r?1g而认为T∝r,则得T2=R2,显然也是错误的。其
原因仍是忘掉了式中“g” 的不同。
④ GMm/r2=ma向,则a向=GM/r2 故有,
2a1R212??a2R1232=1/9。如果此处运用了a向=g
a1g??1ag而认为a向轨道半径无关,则得2,必然错
图4-7
误,其原因仍是忘掉了式中“g”的不同。
7、必须区别赤道轨道卫星、极地轨道卫星与一般轨道卫星的不同
人造地球卫星从轨道取向上一般分为三类:赤道轨道、极地轨道和一般轨道。 所谓赤道轨道卫星,是指这种卫星的轨道处在地球赤道的平面之内,卫星距赤道地面具有特
r可求得。而在实际当中只有处在36000km高空的定的高度,其运行速度由公式 v =
赤道轨道上,且只有与地球自转方向相同的卫星才能与地球相对静止,称之为“同步卫星”,如图4-7所示。如果其转向与地球自转反向,则就不能称之为“同步卫星”了。另外,发射地球同步卫星时,为了节省能量,其发射地点应尽量靠近赤道,以借助地球的自转线速度。地球同步卫星具有“轨道不偏不倚”、“高度不高不低”、 “速度不快不慢”的六不特性。如图4-7所示 。
所谓极地轨道卫星,是指卫星的轨道平面始终与太阳保持相对固定的取向.其轨道平面与地球赤道平面的夹角接近90度。
卫星可在极地附近通过,故又称为近极地太阳同步卫星。如图4-7所示.这种卫星由于与地球之间有相对运动,可以观测,拍摄地球上任一部位的空中,地面的资料。1999年5月10日我国”一箭双星”发射的”风云一号”与”风云二号”气象卫星中的”风云一号”就是这种极地轨道卫星。
所谓一般轨道卫星是指轨道平面不与某一经线平面重合(赤道平面除外)的人造地球卫星。
以上三种轨道卫星共同特点是轨道中心必须与地心重合,是以地心为圆心的”同心圆”.,没有与地球经线圈共面的轨道(赤道平面除外)。
例10: (2000年全国春季高考)可以发射一颗这样的人造地球卫星,使其圆轨道( ) A 与地球表面上某一纬度线(赤道除外)是共面的同心圆 B 与地球表面上某一经度线所决定的圆是共面的
C 与地球表面上的赤道线是共面同心圆,而且相对地球表面是静止的 D与地球表面上的赤道线是共面同心圆, 但卫星相对地球表面是运动的
【审题】此题重在判断人造地球卫星的轨道取向与地球的经度线平面,纬度线平面,赤道平面的关系.在辨析,判断时必须明确以下几点:
1 作匀速圆周运动的卫星必定是无动力飞行,其轨道中心必然在地球中心。 2 人造地球卫星的轨道有三种:赤道轨道,极地轨道,一般轨道。 3 地球同步卫星的运行轨道与位置高度等方面的特点。 只要依据以上几方面的特点即可辨析选择出正确答案。 【解析】
对A选项,人造地球卫星运行时,是地球对它的万有引力提供向心力,而此向心力的方向必定指向地心,即所有无动力飞行的卫星轨道的圆心一定与地球中心重合,不能是地轴上(除地心之外)的某一点。故A项错误.
对B项,由于地球绕地轴在自转,所以卫星的轨道平面不可能与经度线所决定的平面共面.故B项是错误的。
对C项,相对地球表面静止的卫星就是”同步卫星”,它必须处在赤道圈平面,且距离赤道地面有确定的高度,高度H=36000千米,其运行速度必须是V=3.1km/s.运行周期与地球自转周期相同.故C项正确。
对D选项,如果卫星所在的高度低于或高于h=36000km时,便不再是地球同步卫星。虽然还可以使轨道处于地球赤道平面之内,但由于运转的周期与地球自转的周期不会相同,也就会相对地面运动.这种卫星就是地球赤道轨道卫星,但不是地球同步卫星,故D项正确。
GM