∴k=,
∴直线的解析式是:y=x+3, ②P′(﹣1,m),
∴点P的坐标是(1,m), ∵点P在直线AB上, ∴m=×1+3=;
(2)∵PP′∥AC, △PP′D∽△ACD, ∴
=
,即
=,
∴a=;
(3)以下分三种情况讨论. ①当点P在第一象限时,
1)若∠AP′C=90°,P′A=P′C(如图1) 过点P′作P′H⊥x轴于点H. ∴PP′=CH=AH=P′H=AC. ∴2a=(a+4) ∴a=
∵P′H=PC=AC,△ACP∽△AOB
∴==,即=, ∴b=2
2)若∠P′AC=90°,(如图2),则四边形P′ACP是矩形,则PP′=AC. 若△P′CA为等腰直角三角形,则:P′A=CA, ∴2a=a+4 ∴a=4
∵P′A=PC=AC,△ACP∽△AOB
∴==1,即=1 ∴b=4
3)若∠P′CA=90°,
则点P′,P都在第一象限内,这与条件矛盾.
∴△P′CA不可能是以C为直角顶点的等腰直角三角形.
②当点P在第二象限时,∠P′CA为钝角(如图3),此时△P′CA不可能是等腰直角三角形;
③当P在第三象限时,∠P′AC为钝角(如图4),此时△P′CA不可能是等腰直角三角形.
所有满足条件的a,b的值为:
,
.
【点评】本题主要考查了梯形的性质,相似三角形的判定和性质以及一次函数的综合应用,要注意的是(3)中,要根据P点的不同位置进行分类求解.
8.(2018·天津五区县·一模)如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,AD和过C点的直线互相垂直,垂足为D,且AC平分∠DAB. (1)求证:DC为⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径为3,AD=4,求AC的长.
【考点】切线的判定;相似三角形的判定与性质.
【分析】(1)连接OC,由OA=OC可以得到∠OAC=∠OCA,然后利用角平分线的性质可以证明∠DAC=∠OCA,接着利用平行线的判定即可得到OC∥AD,然后就得到OC⊥CD,由此即可证明直线CD与⊙O相切于C点;
(2)连接BC,根据圆周角定理的推理得到∠ACB=90°,又∠DAC=∠OAC,由此可以得到△ADC∽△ACB,然后利用相似三角形的性质即可解决问题. 【解答】(1)证明:连接OC ∵OA=OC
∴∠OAC=∠OCA
∵AC平分∠DAB ∴∠DAC=∠OAC ∴∠DAC=∠OCA ∴OC∥AD
∵AD⊥CD∴OC⊥CD
∴直线CD与⊙O相切于点C;
(2)解:连接BC,则∠ACB=90°. ∵∠DAC=∠OAC,∠ADC=∠ACB=90°, ∴△ADC∽△ACB, ∴,
2
∴AC=AD?AB,
∵⊙O的半径为3,AD=4, ∴AB=6, ∴AC=2
.
【点评】此题主要考查了切线的性质与判定,解题时 首先利用切线的判定证明切线,然后利用切线的想这已知条件证明三角形相似即可解决问题.
9. (2018·重庆巴蜀 ·一模)如图1,正方形ABCD中,点E为AD上任意一点,连接BE,以BE为边向BE右侧作正方形BEFG,EF交CD于点M,连接BM,N为BM的中点,连接GN,FN.
(1)若AB=4,AE:DE=3:1,求EM的长; (2)求证:GN=FN;
(3)如图2,移动点E,使得FN⊥CD于点Q时,请探究CM与DE的数量关系并说明理由.
【分析】(1)根据题意分别求出AE、DE,证明△ABE∽△DEM,根据相似三角形的性质得到比例式,计算即可;
(2)连接EN,根据直