2018人教版中考数学《图形的相似与位似》专项练习

∴=m=,

∴=1:m=,

EP与EQ满足的数量关系式1:m,即EQ=mEP, ∴0<m≤2+

,(因为当m>2+

时,EF和BC变成不相交).

【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定,全等三角形的性质和判定,主要考查学生运用定理进行推理的能力,证明过程类似.

22. (2018·黑龙江大庆·一模)如图,A、B两个单位分别位于一条封闭式街道的两旁,A、B两个单位到街道的距离AC=48米、BD=24米,A、B两个单位的水平距离CE=96米,现准备修建一座与街道垂直的过街天桥.

(1)天桥建在何处才能使由A到B的路线最短? (2)天桥建在何处才能使A、B到天桥的距离相等?

分别在图1、图2中作图说明(不必说明理由)并通过计算确定天桥的具体位置.

AAC天桥EC天桥DBEDB

图1 图2 答案:解:(1)如答图1,平移B点至B’使BB’=DE,连接AB’交CE于F,在此处建桥可

使由A到B的路线最短;此时易知AB’∥BG,∴△ACF∽△BDG,GD=96-x,∴

ACBD,设CF=x,则?CFDG4824,解得x=64,即CF=64米,∴将天桥建在距离C点64米处,可?x96?x使由A到B的路线最短;3分

ACFEB'DBG

(2)如答图1,平移B点至B’使BB’=DE,连接AB’交CE于F,作线段AB’的中垂线交CE于P,在此处建桥可使A、B到天桥的距离相等;此时易知AB’∥BG,另OP为AB’中垂

PFOF,设CP=x,则PF=CF-x,由(1)得CF=64,∴PF=64-x;?AFCF64?x20在Rt△ACF中,由勾股定理得AF=80,∴FB’=40,又O为AB’中点,∴FO=20,∴,?8064线,∴△ACF∽△BDG∽△POF,解得x=39,即CP=39米,∴将天桥建在距离C点39米处,可使由A到B的路线最短.7分

AOCPFEB'DBQ

(其它如作对称点等构造方法,只要合理即可酌情得分)

23. (2018·湖北襄阳·一模)如图,AB是⊙O的直径,点P在BA的延长线上,弦CD⊥AB,

2

垂足为E,且PC=PE·PO.

(1)求证:PC是⊙O的切线;

(2)若OE︰EA=1︰2,PA=6,求⊙O的半径;

2

答案:(1)连结OC. ∵PC=PE·PO,

PCPO?PEPC.∠P=∠P. ∴

∴△PCE∽△POC,

∴∠PEC=∠PCO.又∵CD⊥AB,∴∠PEC=90°, ∴∠PCO=90°. ∴PC是⊙O的切线.

(2)设OE=x.∵OE︰EA=1︰2,EA=2x,OA=OC=3x, OCOP?3xOEOC. ∴OP=+6.又∵CE是高,∴Rt△OCE∽Rt△OPC,

2(3x)?x(3x?6). ∴OC=OE·OP. 即

2

∴x1?1,x2?0(不合题意,舍去).故OA=3. 24.(2018·湖北襄阳·一模)(本小题满分13分)

在平面直角坐标系中,二次函数y?ax?bx?2的图象与x轴交于A(-3,0),B(1,0)两点,与y轴交于点C.

(1)求这个二次函数的解析式;

(2)点P是直线AC上方的抛物线上一动点,是否存在点P,使△ACP的面积最大?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由;

(3)点Q是直线AC上方的抛物线上一动点,过点Q作QE垂直于x轴,垂足为E.是否存在点Q,使以点B、Q、E为顶点的三角形与△AOC相似?若存在,直接写出点Q的坐标;若不存在,说明理由;

2

答案:解:(1)由抛物线y?ax?bx?2过点A(-3,0),B(1,0), 则?2?0?9a?3b?2

0?a?b?2?2?a????3解得?

?b??4?3? ∴二次函数的关系解析式y??224x?x?2. 33 (2)连接PO,作PM⊥x轴于M,PN⊥y轴于N.…4分 设点P坐标为(m,n),则n??224m?m?2. 33

224(5分) m?m?2,PN??m,AO=3.

3324 当x?0时,y???0??0?2=2.

33 PM =?∴OC=2.

111AO?PM?CO?PN?AO?CO 22212411 =?3?(?m2?m?2)??2?(?m)??3?2=?m2?3m.8分

233223 ∵a=-1<0,∴当m??时,函数S?ACP??m2?3m有最大值.

22423435 此时n??m2?m?2???(?)2??(?)?2=.

333232235∴存在点P(?,),使△ACP的面积最大.

22321 (3)存在点Q,坐标为:Q1(?2,2),Q2(?,).

48S?ACP?S?PAo?S?PCO?S?ACO=

分△BQE∽△AOC,△EBQ∽△AOC,△QEB∽△AOC三种情况讨论可得出. 25.(2018·广东·一模)(本题满分12分)抛物线y=-x2+bx+c经过点A、B、C,已知A(-1,0),C(0,3).

(1)求抛物线的解析式;

(2)如图1,P为线段BC上一点,过点P作y轴平行线,交抛物线于点D,当△BDC的面积最大时,求点P的坐标;

(3)如图2,抛物线顶点为E,EF⊥x轴于F点,M(m,0)是x轴上一动点,N是线段EF上一点,若∠MNC=90°,请指出实数m的变化范围,并说明理由.

解:(1)由题意得:∴抛物线解析式为(2)令

,解得:;

,∴x1= -1,x2=3,即B(3,0),

设直线BC的解析式为y=kx+b′,

∴,解得:,∴直线BC的解析式为,

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