∴四边形AECD为平行四边形． （2）∵四边形AECD是平行四边形 ∴∠D＝∠AEC，
又∠EAF＝∠CAD，∴∠EAC＝∠DAF， ∴△AEC∽△ADF （3）设AD＝a，则BC＝2a，
又∵∠ECA＝45°，∠B＝90°， ∴AB＝BC＝2a，AE＝DC＝5a ∵△AEC∽△ADF ∴
5aa5AEEC，即，∴DF==a， =aDF5ADDF545a=a． 55 ∴CF=DC-DF=5a-∵AE∥DC
45a4FGFC5∴＝=． =EGAE55a19．（2018·河南洛阳·一模）（10分）在△ABC中，∠A= 90°，点D在线段BC上，∠EDB=∠C，BE⊥DE，垂足为E，DE与AB相交于点F． (l)当AB= AC时，（如图13）， ①∠EBF= °．
②探究线段BE与FD的数量关系，并加以证明； (2)当AB=kAC时（如图14），求
12BE的值（用含k的式子表示）． FD（1）①∵AB=AC ∠A=90°，∴∠ABC=∠C=45°， ∵∠EDB=
1∠C，∴∠EDB=22.5°，∵BE⊥DE，∴∠EBD=67.5°， 2∴∠EBF= 67.5°－45°=22.5°；
②在△BEF和△DEB中，∵∠BED=∠FEB=90°，∠EBF=∠EDB=22.5°， ∴△BEF∽△DEB，
如图：作BG平分∠ABC，交DE于G点，∴BG=GD，△BEG是等腰直角三角形， 设EF=x，BE=y，则：BG=GD=2y，FD=2y?y?x，
A E F B G D C EFBE?∵△BEF∽△DEB，∴， BEED即：
xy?，得：x?(2?1)y， yy?2y
∴FD=2y?y?(2?1)y?2y，∴FD=2BE．
（2）过点D作DG∥AC，交BE的延长线于点G，与BA交于点N， ∵DG∥AC，∴∠GDB=∠C， ∵∠EDB=
1∠C，∴∠EDB=∠GDE， 2∵BE⊥DE，∴∠BED=∠DEG，DE=DE， ∴△DEG≌△DEB， ∴BE=
G 1GB，∠BND=∠GNB=90°，∠EBF=∠NDF， 2E N F B
A ∴△GBN∽△FDN，
GBNBBEBN??∴，即， FDDNFD2DN又∵DG∥AC，∴△BND∽△BAC， ∴BNAB?DNCABNDNABCAD C ，即??k，∴
BEk?． FD2
20．（2018·辽宁丹东七中·一模）（10分）如图，△ABC三个定点坐标分别为A（-1，3），B（-1，1），C（-3，2）．
（1）请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）以原点O为位似中心，将△A1B1C1放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在第三象限内画出△A2B2C2，并直接写出S△A1B1C1：S△A2B2C2=_____________．
面积比为1:4
21.（2018·河北石家庄·一模）如图1，一副直角三角板满足AB=BC，AC=DE，∠ABC=∠DEF=90°∠EDF=30°，
【操作1】将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上，再将三角板DEF绕点E旋转，并使边DE与边AB交于点P，边EF与边BC于点Q． 在旋转过程中，如图2，当
时，EP与EQ满足怎样的数量关系？并给出证明．
时EP与EQ满足怎样的数量关系？，并说明理由．
【操作2】在旋转过程中，如图3，当
【总结操作】根据你以上的探究结果，试写出当时，EP与EQ满足的数量关系是什么？
其中m的取值范围是什么？（直接写出结论，不必证明）m．
【考点】相似形综合题．
【分析】（操作1）连接BE，根据已知条件得到E是AC的中点，根据等腰直角三角形的性质可以证明DE=CE，∠PBE=∠C．根据等角的余角相等可以证明∠BEP=∠CEQ．即可得到全等三角形，从而证明结论；
（操作2）作EM⊥AB，EN⊥BC于M、N，根据两个角对应相等证明△MEP∽△NWQ，发现EP：EQ=EM：EN，再根据等腰直角三角形的性质得到EM：EN=AE：CE；
（总结操作）根据（2）中求解的过程，可以直接写出结果；要求m的取值范围，根据交点的位置的限制进行分析． 【解答】（操作1）EP=EQ， 证明：连接BE，根据E是AC的中点和等腰直角三角形的性质，得：BE=CE，∠PBE=∠C=45°， ∵∠BEC=∠FED=90° ∴∠BEP=∠CEQ， 在△BEP和△CEQ中
，
∴△BEP≌△CEQ（ASA）， ∴EP=EQ；
如图2，EP：EQ=EM：EN=AE：CE=1：2， 理由是：作EM⊥AB，EN⊥BC于M，N， ∴∠EMP=∠ENC，
∵∠MEP+∠PEN=∠PEN+∠NEF=90°， ∴∠MEP=∠NEF， ∴△MEP∽△NEQ，
∴EP：EQ=EM：EN=AE：CE=1：2；
如图3，过E点作EM⊥AB于点M，作EN⊥BC于点N， ∵在四边形PEQB中，∠B=∠PEQ=90°， ∴∠EPB+∠EQB=180°， 又∵∠EPB+∠MPE=180°， ∴∠MPE=∠EQN，
∴Rt△MEP∽Rt△NEQ， ∴=，
Rt△AME∽Rt△ENC，