22．设{Xn,n?0,?1,?2,...}是白噪声序列，试证明
Y(n)?1[X(n)?X(n?1)?...?X(n?m?1)] m为均方连续的平稳过称，具有谱密度S(?)，试证：
是平稳时间序列，并求其相关函数及谱密度。 23．设{X(n),n?0,?1,2?,...}对每个??0,X{n(?n),?0?,?1是,平稳序列，并用S(?)表出
{X(n?)n,?0?,?1,的谱密度。
24．设?、?是两个互相独立的实随机变量，E??0,D??1，?的分布函数是F(x)，试证明：Z(t)??ejt?为平稳过程，且其谱函数就是F(?)。
25．设{X(t),???t???}是均方可导的平稳过程，S(?)是其谱密度，试证
（1）Y(t)?（2）Z(t)????tte??(t?s)X(s)ds,(??0,常数)
e??(t?s)sin?(t?s)????X(s)ds,(??0,??0均常数)
均为平稳过程，并求他们的谱密度。
26．设Y是均方二次可导的平稳过程，X是均方连续的平稳过程，且满足：
Y??(t)??Y?(t)??02Y(t)?X(t)
使用X的谱函数表示Y的谱函数及X与Y的互谱函数。
27．已知如图所示的系统，其输入X为一零均值的平稳的正太过程，通过实验测得Z的功率谱密度为
SZ(?)???(?)?2? 222(???)(??1)22(0)?2RX(?)； （1）试证Y也为平稳的，且RY(?)?RX（2）利用（1）的结论分别求X和Y的自相关函数与功率谱密度。
X(t)(?)2Y(t)题27图
h(t)=e-tU(t)Z(t)
28．设线性时不变系统的脉冲响应h(t)?U(t)exp(??t)，其中??0为常数，
U(t)为单位阶跃函数，系统的输入X是自相关函数为
RX(?)?exp[???],(??0)的平稳过程。试求：
（1）系统输入与输出的互相关函数。 （2）输出的功率谱密度和自相关函数。
29．设随机过程X(t)?Acost?Bsint,???t???，其中A和B是相互独立的零均值随机变量，且D(A)?D(B)??2。试研究X的均值函数和相关函数是否具有各态历经性。
30．设随机过程X(t)?Acos(?t??),???t???，其中A、?是相互独立的随机变量，且?服从区间[0,2?]上的均匀分布。试研究X的均值函数和相关函数是否具有各态历经性。
31．设随机过程X(t)?Acos(?t??),???t???，其中A、?、?是相互独立的随机变量，其中A的均值为2，方差为4，且?服从区间[??,?]上的均匀分布，?服从区间(-5,5)上的均匀分布。试研究X的均值函数和相关函数是否具有各态历经性。
32．设平稳过程的期望为m，自相关函数为R(?)，协方差函数为C(?)。
（1）若
????C(?)d????，试证明X的均值各态历经；
（2）若C(0)???，且当???时，C(?)?0，试证明X的均值各态历经。
33．设平稳过程X?{X(t)?,??t??的?}均值mX?0，相关函数
RX(?)?Ae历经性。
习题五
?a?(?1?a)?,a(，其中0)A、a是常数。问X的均值是否具有各态
1．设{Un,n?1,2,...}是相互独立的随机变量序列，试问下列的{Xn,n?1,2,...}是否是马氏链，并说明理由：
（1）Xn?U1?U2?...?Un； （2）Xn?(U1?U2?...?Un)2。
2．{Xn,n?1,2,...}是随机差分方程Xn??Xn?1?In的解，其中?是已知常数，
X0?0，而{In,n?1,2,...}是独立同分布的取可数值的随机变量。试证明
{Xn,n?1,2,...}是马氏链。
3．有两个状态0和1的马氏链{Xn