习题一
1．设随机变量X服从几何分布，即：P(X?k)?pqk,k?0,1,2,...。求X的特征函数、EX及DX。其中0?p?1,q?1?p是已知参数。
2．（1）求参数为（p,b）的?分布的特征函数，其概率密度函数为
?bpp?1?bxxe,x?0?p(x)???(p)?0,x?0?b?0,p?0（2）求其期望和方差；
（3）证明对具有相同的参数b的?分布，关于参数p具有可加性。 3．设X是一随机变量，F（x）是其分布函数，且是严格单调的，求以下随机变量的特征函数。
（1）Y?aF(X)?b,(a?0,b是常数)； （2）Z=lnF(X)，并求E(Zk)（k为自然数）。
4．设X1,X2,...,Xn相互独立，具有相同的几何分布，试求 X k的分布。
k?1?nejt(1?ejnt)5．试证函数 f (t ) ? jt 为一特征函数，并求它所对应的随机变量的分布。
n(1?e)6．试证函数 f ( t ) ? 2 为一特征函数，并求它所对应的随机变量的分布。 7．设X1,X2,...,Xn相互独立同服从正态分布N(a,?2)，试求n维随机向量率密度函数。
11?t1nX1,X2,...,Xn的分布，并求出其均值向量和协方差矩阵，再求 X ? ? X i的概
ni?18．设X、Y相互独立，且（1）分别具有参数为(m, p)及(n, p)的二项分布；（2）分别服从参数为(p1,b),(p2,b)的?分布。求X+Y的分布。 9．已知随机向量（X, Y）的概率密度函数为
?122?[1?xy(x?y)],?1?x,y?1p(x,y)??4
??0,其他试求其特征函数。
（X1,X2,X3,X4）10．已知四维随机向量服从正态分布，均值向量为0，协方差矩
阵为B=(?kl)4?4，求E(X1,X2,X3,X4)。
11．设X1，X2 和X3相互独立，且都服从N(0,1)，试求随机变量Y1?X1?X2和
Y2?X1?X3组成的随机向量(Y1, Y2)的特征函数。
12．设X1，X2 和X3相互独立，且都服从N(0,?2)，试求：
（1）随机向量(X1, X2, X3)的特征函数；
X3,S?1X?（2）设S1?X1,S求随机向量(S1, S2, S3)的特2?X1?22X?3X，
征函数；
（3）Y1?X2?X1和Y2?X3?X2组成的随机向量(Y1, Y2)的特征函数。 13．设(X1, X2, X3)服从三维正太分布N(0,B)，其中协方差矩阵为B=(?ld)3?3，且
2?11??22??33??2。试求E[(X12??2)(X2??2)(X32??2)]。
14．设X1,X2,...,Xn相互独立同服从正态分布N(0,?2)。试求
Yn?exp(??Xi2)的期望。
i?1n15．设X、Y是相互独立同分布的N(0,1)随机变量，讨论U?X2?Y2和 V ? 的独立性。
和 V ? 的独立性。
17．设二维随机变量(X,Y)的概率密度函数分别如下，试求E(X|Y?y)。 16．设X、Y是相互独立同服从参数为1的指数分布的随机变量，讨论U?X?YXYXX?Y?1?y?xy,x?0,y?0?e（1） p(x,y)??y? ?0,其他
??2e??x,0?y?x（2） p(x,y)???0,其他18．设X、Y是两个相互独立同分布的随机变量，X服从区间[0, 1]上的均匀分布，Y服从参数为?的指数分布。求（1）X与X+Y的联合概率密度函数；（2）D(X|Y=y)。
0n???n19．设Xn，n=1，±1，±2，…是一列随机变量，且 X n ~ ? 1 2 1 ? ，</