2019最新高考数学二轮复习 专题四 解析几何 第3讲 圆锥曲线的综合问题学案(考试专用)

即t1=-t2?t1=t2,

所以|QE|·|QF|=|QP|·|QB|, 即|QE|·|QF|-|QP|·|QB|=0为定值.

B组 能力提高

22

x2y2

5.已知椭圆C:2+2=1(a>b>0)的上顶点为点D,右焦点为F2(1,0),延长DF2交椭圆C于

ab点E,且满足|DF2|=3|F2E|. (1)求椭圆C的标准方程;

(2)过点F2作与x轴不重合的直线l和椭圆C交于A,B两点,设椭圆C的左顶点为点H,且直线HA,HB分别与直线x=3交于M,N两点,记直线F2M,F2N的斜率分别为k1,k2,则k1与k2之积是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.

解 (1)椭圆C的上顶点为D(0,b),右焦点F2(1,0),点E的坐标为(x,y). →→

∵|DF2|=3|F2E|,可得DF2=3F2E, →→

又DF2=(1,-b),F2E=(x-1,y),

??∴?by=-??3,x=,

可得43

x2y2

代入2+2=1,

ab?4?2?-b?2?3??3?????

a2+b2=1,

2

2

又a-b=1,解得a=2,b=1, 即椭圆C的标准方程为+y=1.

2

(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),H(-2,0),M(3,yM),

22

x2

2

N(3,yN).

由题意可设直线AB的方程为x=my+1,

x=my+1,??2

联立?x2

+y=1,??2

2

2

消去x,

得(m+2)y+2my-1=0, Δ=4m+4(m+2)>0恒成立.

2

2

17

2my+y=-,??m+2∴?-1

yy=??m+2.1

2

2

12

2

根据H,A,M三点共线,可得

=,

3+2x1+2

yMy1

∴yM=y1(3+2)x1+2

.

同理可得yN=y2(3+2)x2+2

∴M,N的坐标分别为?3,

??

y1(3+2)??

y2(3+2)??,?3,?,

x1+2??x2+2?

∴k1k2=yM-0yN-01

3-1

·3-1

=yMyN 4

1y1(3+2)y2(3+2)=·· 4x1+2x2+2=

y1y2?3+2?2

4(my1+1+2)(my2+1+2)

y1y2?3+2?2

4my1y2+(1+

2

[2)m(y1+y2)+(1+2)

2

]

-11-62

m2+2

?-m2-2(1+2)m2?4?2+?+3+22

m2+2?m+2?

-11-62

m2+242-9==.

86+42

4×2

m+2

42-9

∴k1与k2之积为定值,且该定值是.

8

433

6.已知平面上动点P到点F(3,0)的距离与到直线x=的距离之比为,记动点P32的轨迹为曲线E. (1)求曲线E的方程;

(2)设M(m,n)是曲线E上的动点,直线l的方程为mx+ny=1. ①设直线l与圆x+y=1交于不同两点C,D,求|CD|的取值范围;

18

2

2

②求与动直线l恒相切的定椭圆E′的方程,并探究:若M(m,n)是曲线Γ:Ax+By=

2

2

1(A·B≠0)上的动点,是否存在与直线l:mx+ny=1恒相切的定曲线Γ′?若存在,直接写出曲线Γ′的方程;若不存在,说明理由. 解 (1)设P(x,y),由题意,得(x-3)+y2

2

?43??x-?

3??

x2

2

3

. 2

整理,得+y=1,∴曲线E的方程为+y=1.

44(2)①圆心到直线l的距离d=

1

x2

2

m+n22,

∵直线与圆有两个不同交点C,D, ∴|CD|=4?1-

2

??

1?. m+n2??

2

又∵+n=1(m≠0),

44??2

∴|CD|=4?1-2?.

?3m+4?∵|m|≤2,∴0

∴0<1-2≤. 3m+44

∴|CD|∈(0,3],|CD|∈(0,3],

2

2

m2

2

即|CD|的取值范围为(0,3].

②当m=0,n=1时,直线l的方程为y=1; 1

当m=2,n=0时,直线l的方程为x=.

2根据椭圆对称性,猜想E′的方程为4x+y=1. 下面证明:直线mx+ny=1(n≠0)与4x+y=1相切,

2

2

2

2

其中+n=1,即m+4n=4.

44x+y=1,??

由?1-mxy=,?n?

2

2

m2

222

2

2

消去y得

(m2+4n2)x2-2mx+1-n2=0,

即4x-2mx+1-n=0,

∴Δ=4m-16(1-n)=4(m+4n-4)=0恒成立,从而直线mx+ny=1与椭圆E′:4x+

2

2

2

2

2

y2=1恒相切.

19

若点M(m,n)是曲线Γ:Ax+By=1(A·B≠0)上的动点,则直线l:mx+ny=1与定曲线

2

2

x2y2

Γ′:+=1(A·B≠0)恒相切.

AB 20

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