2019最新高考数学二轮复习 专题四 解析几何 第3讲 圆锥曲线的综合问题学案(考试专用)

所以b=2,所以椭圆的标准方程为+=1.

32(2)①当直线BD的斜率k存在且k≠0时, 直线BD的方程为y=k(x+1), 代入椭圆方程+=1,

32

并化简得(3k+2)x+6kx+3k-6=0.

2

2

2

2

2

x2y2

x2y2

Δ=36k-4(3k+2)(3k-6)=48(k+1)>0恒成立. 设B(x1,y1),D(x2,y2),

6k3k-6

则x1+x2=-2,x1x2=2,

3k+23k+2|BD|=1+k·|x1-x2|

43(k+1)

=(1+k)·[?x1+x2?-4x1x2]=. 2

3k+2

2

2

2

22

2

4222

1

由题意知AC的斜率为-,

k?1?43?2+1?2?k?43(k+1)

所以|AC|==. 2

12k+33×2+2

k|AC|+|BD|=43(k+1)?

2

2

?21+21?

??3k+22k+3?

2

22

203(k+1)203(k+1)=≥ (3k2+2)(2k2+3)?(3k2+2)+(2k2+3)?2

??

2??

203(k+1)163

==. 22

25?k+1?5

4

2

2

当且仅当3k+2=2k+3,即k=±1时,上式取等号, 163

故|AC|+|BD|的最小值为. 5②当直线BD的斜率不存在或等于零时, 103163

可得|AC|+|BD|=>. 35163

综上,|AC|+|BD|的最小值为.

5

2.(2018·诸暨市适应性考试)已知F是抛物线C:x=2py(p>0)的焦点,过F的直线交抛物线C于不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1x2=-1.

13

2

22

(1)求抛物线C的方程;

(2)过点B作x轴的垂线交直线AO(O为坐标原点)于点D,过点A作直线DF的垂线与抛物线C的另一交点为E,AE的中点为G. ①求点D的纵坐标; ②求|GB||DG|的取值范围.

解 (1)设AB:y=kx+p2

?联立??

y=kx+p2,2

p??x2=2py,

得x=2p??

?

kx+2???,

即x2

-2pkx-p2

=0, ∴x2

1x2=-p=-1,∴p=1, ∴抛物线C的方程为x2

=2y. (2)①直线OA的方程为y=y1x1

xx=x,

12∴D??

xx1x2?

2,

2???,即D???

x12,-2???, ∴点D的纵坐标为-1

2.

②∵k1

DF=-x,∴kAE=x2,

2

即直线AE的方程为y-y1=x2(x-x1),

?y-y1=x2?x-x1?,联立??x2

2

-x2x-y1-1=0,

??y=x2

2

得∴xE=2x2-x1,∴G(x2,2y2+y1+1). ∴G,B,D三点共线,∴|GB|y2+y1+1

|DG|=2y3

2+y1+

2∵y1

1·y2=4

|DG|y1

1+

2

|GB|=2-1=2-y1

4y+y1

1+1y1+12

14

1

=2-∈(1,2),

11+2y1∴

|GB|?1?

∈?,1?. |DG|?2?

3.(2018·全国Ⅲ)已知斜率为k的直线l与椭圆C:+=1交于A,B两点,线段AB的

43中点为M(1,m)(m>0). 1

(1)证明:k<-;

2

→→→→→→

(2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且FP+FA+FB=0.证明:|FA|,|FP|,|FB|成等差数列,并求该数列的公差.

(1)证明 设A(x1,y1),B(x2,y2), 则+=1,+=1. 4343两式相减,并由由题设知

x2y2

x2y211x2y222

y1-y2x1+x2y1+y2

=k,得+·k=0. x1-x243

y1+y2

2

3

=m,于是k=-.①

4mx1+x2

2

=1,

31

由题设得0

(2)解 由题意得F(1,0).设P(x3,y3),则 (x3-1,y3)+(x1-1,y1)+(x2-1,y2)=(0,0). 由(1)及题设得x3=3-(x1+x2)=1,

y3=-(y1+y2)=-2m<0.

3

又点P在C上,所以m=,

43?→3?从而P?1,-?,|FP|=, 2?2?→22

于是|FA|=?x1-1?+y1=

x1?x1??x1-1?+3?1-?=2-. 2?4?

2

2

x2→

同理|FB|=2-. 2

1→→

所以|FA|+|FB|=4-(x1+x2)=3.

2

→→→→→→

故2|FP|=|FA|+|FB|,即|FA|,|FP|,|FB|成等差数列.

11→→2设该数列的公差为d,则2|d|=||FB|-|FA||=|x1-x2|=?x1+x2?-4x1x2.②

22

15

3

将m=代入①得k=-1,

4

7

所以l的方程为y=-x+,代入C的方程,

412

并整理得7x-14x+=0.

4

1321

故x1+x2=2,x1x2=,代入②解得|d|=.

2828321321

所以该数列的公差为或-.

2828

12

4.(2018·嘉兴市、丽水市教学测试)点P(1,1)为抛物线y=x上一定点,斜率为-的直线

2与抛物线交于A,B两点.

(1)求弦AB中点M的纵坐标;

(2)点Q是线段PB上任意一点(异于端点),过Q作PA的平行线交抛物线于E,F两点,求证:|QE|·|QF|-|QP|·|QB|为定值. (1)解 kAB=

yA-yB11

==-,(*) xA-xByA+yB2

yA+yB2

=-1.

所以yA+yB=-2,yM=

(2)证明 设Q(x0,y0),直线EF:x-x0=t1(y-y0), 直线PB:x-x0=t2(y-y0), 联立方程组?

2

??x-x0=t1?y-y0?,??y=x,

2

得y-t1y+t1y0-x0=0,

所以yE+yF=t1,yE·yF=t1y0-x0,

|QE|·|QF|=1+t1|yE-y0|·1+t1|yF-y0| =(1+t1)|y0-x0|.

同理|QP|·|QB|=(1+t2)|y0-x0|.

2

2

2

2

22由(*)可知,t1=

1

kEFkPA=1

=yA+yP,t2=1

kPB=yB+yP,

所以t1+t2=(yA+yB)+2yP=-2+2=0,

16

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