∴M(m，k1(m＋22))，N(m，k2(m－22))，
∴根据射影定理知，以MN为直径的圆的方程为(x－m)＋[y－k1(m＋22)][y－k2(m－22)]＝0，
即(x－m)＋y－[k1(m＋22)＋k2(m－22)]y＋k1k2·(m－8)＝0，
2
2
22
?x0?设点P(x0，y0)，则＋＝1，y＝4?1－?，
84?8?
2
0
x2y200
y0
2
∴k1k2＝y0
x0＋22x0－22
·＝
1
＝－， x220－8
y20
1222
∴(x－m)＋y－[k1(m＋22)＋k2(m－22)]y－(m－8)＝0，
2122
由y＝0，得(x－m)－(m－8)＝0，
2122
∴(x－m)＝(m－8)．
2
当m－8<0，即－22 22?m－8，0?. 2? 2 2 即定点为?m±?? 真题体验 1．(2017·全国Ⅰ改编)已知F为抛物线C：y＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1， 2 l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为________． 答案 16 解析 因为F为y＝4x的焦点， 2 所以F(1,0)． 1 由题意知，直线l1，l2的斜率均存在且不为0，设l1的斜率为k，则l2的斜率为－，故直线 k 9 l1，l2的方程分别为y＝k(x－1)，y＝－(x－1)． k??y＝k?x－1?，由?2 ?y＝4x，? 22 2 1 2 2 2 得kx－(2k＋4)x＋k＝0，Δ＝16k＋16>0. 2k＋4 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2，x1x2＝1， 2 k所以|AB|＝1＋k·|x1－x2| ＝1＋k·?x1＋x2?－4x1x2 ＝1＋k·4?1＋k?＝. 2 222 2 4?2?2k＋ ?k2?－4 ?? 2 k同理可得|DE|＝4(1＋k)． 4?1＋k?2 所以|AB|＋|DE|＝＋4(1＋k) 22 2 k2??1 ＝4?2＋1＋1＋k? ?k? ?21?＝8＋4?k＋2?≥8＋4×2＝16， k? ? 12 当且仅当k＝2，即k＝±1时，取得等号． k2．(2018·浙江)如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y＝4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上． 2 (1)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴； (2)若P是半椭圆x＋＝1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围． 4 2 y2 ?12??12?(1)证明 设P(x0，y0)，A?y1，y1?，B?y2，y2?. ?4??4? 12 y＋x04y＋y0??2＝4· 因为PA，PB的中点在抛物线上，所以y1，y2为方程?， ?2?2? 10 即y－2y0y＋8x0－y0＝0的两个不同的实根． 所以y1＋y2＝2y0， 所以PM垂直于y轴． ??y1＋y2＝2y0， (2)解 由(1)可知?2 ?y1y2＝8x0－y0，? 22 12232 所以|PM|＝(y1＋y2)－x0＝y0－3x0， 84|y1－y2|＝22?y0－4x0?. 13223 所以△PAB的面积S△PAB＝|PM|·|y1－y2|＝(y0－4x0). 242因为x＋＝1(－1≤x0<0)， 4 所以y0－4x0＝－4x0－4x0＋4∈[4,5]， 1510?? 所以△PAB面积的取值范围是?62，?. 4??押题预测 2 2 2 0 2 y20 x2y22 已知椭圆C1：2＋＝1(a>0)与抛物线C2：y＝2ax相交于A，B两点，且两曲线的焦点F重 a3 合． (1)求C1，C2的方程； (2)若过焦点F的直线l与椭圆分别交于M，Q两点，与抛物线分别交于P，N两点，是否存在|PN| 斜率为k(k≠0)的直线l，使得＝2？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． |MQ|押题依据 本题将椭圆和抛物线联合起来设置命题，体现了对直线和圆锥曲线位置关系的综合考查．关注知识交汇，突出综合应用是高考的特色． 解 (1)因为C1，C2的焦点重合， 所以a－3＝， 2所以a＝4. 又a>0，所以a＝2. 于是椭圆C1的方程为＋＝1， 43抛物线C2的方程为y＝4x. |PN| (2)假设存在直线l使得＝2， |MQ| 当l⊥x轴时，|MQ|＝3，|PN|＝4，不符合题意， 2 22ax2y2 11 ∴直线l的斜率存在， ∴可设直线l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x3，y3)，N(x4，y4)． ??y＝4x，由???y＝k?x－1?， 2 2 2 可得kx－(2k＋4)x＋k＝0， 2222 2k＋42 则x1＋x4＝2，x1x4＝1，且Δ＝16k＋16>0， k所以|PN|＝1＋k·?x1＋x4?－4x1x4 4?1＋k?＝. 2 2 2 kxy??＋＝1，由?43??y＝k?x－1?， 2 22 2 可得(3＋4k)x－8kx＋4k－12＝0， 2222 8k4k－12则x2＋x3＝2，x2x3＝2， 3＋4k3＋4k且Δ＝144k＋144>0， 12?1＋k? 所以|MQ|＝1＋k·?x2＋x3?－4x2x3＝2. 3＋4k2 2 2 2 |PN|4?1＋k?12?1＋k?若＝2，则＝2×22， |MQ|k3＋4k解得k＝± 6 . 2 6|PN|的直线l，使得＝2. 2|MQ| 22 故存在斜率为k＝± A组 专题通关 x2y232 1．已知椭圆2＋2＝1(a>b>0)的离心率e＝，左、右焦点分别为F1，F2，且F2与抛物线yab3 ＝4x的焦点重合． (1)求椭圆的标准方程； (2)若过F1的直线交椭圆于B，D两点，过F2的直线交椭圆于A，C两点，且AC⊥BD，求|AC|＋|BD|的最小值． 解 (1)抛物线y＝4x的焦点坐标为(1,0)，所以c＝1， 2 c13 又因为e＝＝＝，所以a＝3， aa3 12