2019最新高考数学二轮复习 专题四 解析几何 第3讲 圆锥曲线的综合问题学案(考试专用)

∴M(m,k1(m+22)),N(m,k2(m-22)),

∴根据射影定理知,以MN为直径的圆的方程为(x-m)+[y-k1(m+22)][y-k2(m-22)]=0,

即(x-m)+y-[k1(m+22)+k2(m-22)]y+k1k2·(m-8)=0,

2

2

22

?x0?设点P(x0,y0),则+=1,y=4?1-?,

84?8?

2

0

x2y200

y0

2

∴k1k2=y0

x0+22x0-22

·=

1

=-, x220-8

y20

1222

∴(x-m)+y-[k1(m+22)+k2(m-22)]y-(m-8)=0,

2122

由y=0,得(x-m)-(m-8)=0,

2122

∴(x-m)=(m-8).

2

当m-8<0,即-22

22?m-8,0?. 2?

2

2

即定点为?m±??

真题体验

1.(2017·全国Ⅰ改编)已知F为抛物线C:y=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,

2

l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为________.

答案 16

解析 因为F为y=4x的焦点,

2

所以F(1,0).

1

由题意知,直线l1,l2的斜率均存在且不为0,设l1的斜率为k,则l2的斜率为-,故直线

k 9

l1,l2的方程分别为y=k(x-1),y=-(x-1).

k??y=k?x-1?,由?2

?y=4x,?

22

2

1

2

2

2

得kx-(2k+4)x+k=0,Δ=16k+16>0.

2k+4

设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2,x1x2=1,

2

k所以|AB|=1+k·|x1-x2| =1+k·?x1+x2?-4x1x2 =1+k·4?1+k?=. 2

222

2

4?2?2k+

?k2?-4 ??

2

k同理可得|DE|=4(1+k).

4?1+k?2

所以|AB|+|DE|=+4(1+k) 22

2

k2??1

=4?2+1+1+k?

?k?

?21?=8+4?k+2?≥8+4×2=16,

k?

?

12

当且仅当k=2,即k=±1时,取得等号.

k2.(2018·浙江)如图,已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点,抛物线C:y=4x上存在不同的两点A,B满足PA,PB的中点均在C上.

2

(1)设AB中点为M,证明:PM垂直于y轴;

(2)若P是半椭圆x+=1(x<0)上的动点,求△PAB面积的取值范围.

4

2

y2

?12??12?(1)证明 设P(x0,y0),A?y1,y1?,B?y2,y2?. ?4??4?

12

y+x04y+y0??2=4·

因为PA,PB的中点在抛物线上,所以y1,y2为方程?, ?2?2?

10

即y-2y0y+8x0-y0=0的两个不同的实根. 所以y1+y2=2y0, 所以PM垂直于y轴.

??y1+y2=2y0,

(2)解 由(1)可知?2

?y1y2=8x0-y0,?

22

12232

所以|PM|=(y1+y2)-x0=y0-3x0,

84|y1-y2|=22?y0-4x0?.

13223

所以△PAB的面积S△PAB=|PM|·|y1-y2|=(y0-4x0).

242因为x+=1(-1≤x0<0),

4

所以y0-4x0=-4x0-4x0+4∈[4,5], 1510??

所以△PAB面积的取值范围是?62,?.

4??押题预测

2

2

2

0

2

y20

x2y22

已知椭圆C1:2+=1(a>0)与抛物线C2:y=2ax相交于A,B两点,且两曲线的焦点F重

a3

合.

(1)求C1,C2的方程;

(2)若过焦点F的直线l与椭圆分别交于M,Q两点,与抛物线分别交于P,N两点,是否存在|PN|

斜率为k(k≠0)的直线l,使得=2?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.

|MQ|押题依据 本题将椭圆和抛物线联合起来设置命题,体现了对直线和圆锥曲线位置关系的综合考查.关注知识交汇,突出综合应用是高考的特色. 解 (1)因为C1,C2的焦点重合, 所以a-3=,

2所以a=4. 又a>0,所以a=2.

于是椭圆C1的方程为+=1,

43抛物线C2的方程为y=4x. |PN|

(2)假设存在直线l使得=2,

|MQ|

当l⊥x轴时,|MQ|=3,|PN|=4,不符合题意,

2

22ax2y2

11

∴直线l的斜率存在,

∴可设直线l的方程为y=k(x-1)(k≠0),P(x1,y1),Q(x2,y2),M(x3,y3),N(x4,y4).

??y=4x,由???y=k?x-1?,

2

2

2

可得kx-(2k+4)x+k=0,

2222

2k+42

则x1+x4=2,x1x4=1,且Δ=16k+16>0,

k所以|PN|=1+k·?x1+x4?-4x1x4 4?1+k?=. 2

2

2

kxy??+=1,由?43??y=k?x-1?,

2

22

2

可得(3+4k)x-8kx+4k-12=0,

2222

8k4k-12则x2+x3=2,x2x3=2,

3+4k3+4k且Δ=144k+144>0,

12?1+k?

所以|MQ|=1+k·?x2+x3?-4x2x3=2.

3+4k2

2

2

2

|PN|4?1+k?12?1+k?若=2,则=2×22, |MQ|k3+4k解得k=±

6

. 2

6|PN|的直线l,使得=2. 2|MQ|

22

故存在斜率为k=±

A组 专题通关

x2y232

1.已知椭圆2+2=1(a>b>0)的离心率e=,左、右焦点分别为F1,F2,且F2与抛物线yab3

=4x的焦点重合. (1)求椭圆的标准方程;

(2)若过F1的直线交椭圆于B,D两点,过F2的直线交椭圆于A,C两点,且AC⊥BD,求|AC|+|BD|的最小值.

解 (1)抛物线y=4x的焦点坐标为(1,0),所以c=1,

2

c13

又因为e===,所以a=3,

aa3

12

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