表示为t=mk,得y=k(x+m),故动直线过定点(-m,0).
②动曲线C过定点问题,解法:引入参变量建立曲线C的方程,再根据其对参变量恒成立,令其系数等于零,得出定点. (2)求解定值问题的两大途径
①由特例得出一个值?此值一般就是定值?→
证明定值:将问题转化为证明待证式与参数?某些变量?无关 ②先将式子用动点坐标或动线中的参数表示,再利用其满足的约束条件使其绝对值相等的正负项抵消或分子、分母约分得定值. 跟踪演练2 已知倾斜角为
π2
的直线经过抛物线Γ:y=2px(p>0)的焦点F,与抛物线Γ相4
交于A,B两点,且|AB|=8. (1)求抛物线Γ的方程;
(2)过点P(12,8)的两条直线l1,l2分别交抛物线Γ于点C,D和E,F,线段CD和EF的中点分别为M,N.如果直线l1与l2的倾斜角互余,求证:直线MN经过一定点. (1)解 由题意可设直线AB的方程为y=x-,
2
pp??y=x-,2由?
??y2=2px,
2
消去y整理得x-3px+=0,
4
2
p2
Δ=9p-4×=8p>0,
4令A(x1,y1),B(x2,y2), 则x1+x2=3p,
由抛物线的定义得|AB|=x1+x2+p=4p=8, ∴p=2.
∴抛物线的方程为y=4x.
(2)证明 设直线l1,l2的倾斜角分别为α,β, π
由题意知,α,β≠.
2
直线l1的斜率为k,则k=tan α. ∵直线l1与l2的倾斜角互余,
2
p2
2
?πsin?-α?2?π?∴tan β=tan?-α?=
?2??π
cos?-α?2
??? ???
5
=
cos α11
==, sin αsin αtan α
cos α
1
∴直线l2的斜率为. k∴直线CD的方程为y-8=k(x-12), 即y=k(x-12)+8.
??y=k?x-12?+8,由?2
?y=4x,?
2
消去x整理得ky-4y+32-48k=0, 设C(xC,yC),D(xD,yD), 4∴yC+yD=,
k416
∴xC+xD=24+2-,
kk282??∴点M的坐标为?12+2-,?.
?
kkk?
1
以代替点M坐标中的k,
k可得点N的坐标为(12+2k-8k,2k), 1?k?
∴kMN==.
1112????2?2-k?-8?-k?+k-4
2
?1?2?-k??
?k?k?k∴直线MN的方程为
y-2k=
k[x-(12+2k-8k)], 1
+k-4
1
2
?1?即?+k-4?y=x-10, ?k?
显然当x=10时,y=0, 故直线MN经过定点(10,0). 热点三 探索性问题
1.解析几何中的探索性问题,从类型上看,主要是存在类型的相关题型,解决这类问题通常采用“肯定顺推法”,将不确定性问题明确化.其步骤为:假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在,用待定系数法设出,列出关于待定系数的方程组,若方程组有实数解,则元素(点、直线、曲线或参数)存在;否则,元素(点、直线、曲线或参数)不存在. 2.反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法.
6
y2x2
例3 已知椭圆C:2+2=1(a>b>0)的上、下焦点分别为F1,F2,上焦点F1到直线4x+3y+
ab1
12=0的距离为3,椭圆C的离心率e=.
2(1)求椭圆C的方程;
y23x2
(2)椭圆E:2+=1,设过点M(0,1),斜率存在且不为0的直线交椭圆E于A,B两点,
a16b2→??→PAPB?→?+试问y轴上是否存在点P,使得PM=λ?若存在,求出点P的坐标;若不存在,→??|→
?PA||PB|?说明理由.
y2x2
解 (1)由已知椭圆C的方程为2+2=1(a>b>0),
ab设椭圆的焦点F1(0,c),
由F1到直线4x+3y+12=0的距离为3, 得
|3c+12|
=3, 5
1c1
又椭圆C的离心率e=,所以=,
2a2又a=b+c,求得a=4,b=3. 椭圆C的方程为+=1. 43
(2)存在.理由如下:由(1)得椭圆E:+=1,
164设直线AB的方程为y=kx+1(k≠0),
2
2
2
2
2
y2x2
x2y2
y=kx+1,??22
联立?xy+=1,??164
2
消去y并整理得(4k+1)x+8kx-12=0, Δ=(8k)+4(4k+1)×12=256k+48>0. 设A(x1,y1),B(x2,y2),
8k12
则x1+x2=-2,x1x2=-2. 4k+14k+1假设存在点P(0,t)满足条件, →??→PAPB?→
+由于PM=λ?, →??|→
?PA||PB|?所以PM平分∠APB.
7
2
2
2
2
所以直线PA与直线PB的倾斜角互补, 所以kPA+kPB=0. 即
y1-ty2-t+=0, x1x2
即x2(y1-t)+x1(y2-t)=0.(*) 将y1=kx1+1,y2=kx2+1代入(*)式, 整理得2kx1x2+(1-t)(x1+x2)=0, 所以-2k·
12?1-t?×?-8k?
+=0, 224k+14k+1
整理得3k+k(1-t)=0,即k(4-t)=0, 因为k≠0,所以t=4.
→??→PAPB?→
+所以存在点P(0,4),使得PM=λ?. →??|→
?PA||PB|?思维升华 解决探索性问题的注意事项
存在性问题,先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确则存在,若结论不正确则不存在.
(1)当条件和结论不唯一时,要分类讨论.
(2)当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件.
(3)当条件和结论都不知,按常规方法解题很难时,要思维开放,采取另外的途径.
x2y22
跟踪演练3 已知椭圆C:2+2=1(a>b>0)经过点M(2,2),且离心率为.
ab2
(1)求a,b的值,并写出椭圆C的方程;
(2)设A,B分别为椭圆C的左、右顶点,在椭圆C上有异于A,B的动点P,若直线PA,PB与直线l:x=m(m为常数)分别交于不同的两点M,N,则当点P运动时,以MN为直径的圆是否经过定点?
42c2222
解 (1)由题知,2+2=1,=,a=b+c,
aba2解得a=22,b=2, ∴椭圆C的方程为+=1. 84
(2)由(1)知,A(-22,0),B(22,0), 设直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,
则直线PA,PB的方程分别为y=k1(x+22),
x2y2
y=k2(x-22),
8