算法设计与分析习题答案1-6章

a[i]=a[n-1]; a[n-1]= temp1;

if (j < n-1 && r[j] < r[j+1]) j++; //比较i的左右孩子,j为较大者

if (r[i] > r[j]) //根结点已经大于左右孩子中的较大者 break; else {

temp = r[i]; r[i] = r[j]; r[j] = temp; //将被筛结点与结点j交换

i = j; j = 2 * i + 1; //被筛结点位于原来结点j的位置 }

} }

7. 计算两个正整数n和m的乘积有一个很有名的算法称为俄式乘法,其思想是利用了一个规模是n的解和一个规模是n/2的解之间的关系:n×m=n/2×2m(当n是偶数)或:n×m=(n-1)/2×2m+m(当n是奇数),并以1×m=m作为算法结束的条件。例如,图5.15给出了利用俄式乘法计算50×65的例子。据说十九世纪的俄国农夫使用该算法并因此得名,这个算法也使得乘法的硬件实现速度非常快,因为只使用移位就可以完成二进制数的折半和加倍。请设计算法实现俄式乘法。

//俄式乘法

#include using namespace std;

int fun(int m,int n) {

int sum=0; int temp=n; while(m!=1) {

if(m%2==0)//如果n是偶数 {

n=n*2;

m=m/2; }

else//如果n是奇数 {

n=n*2;

sum+=temp; m=(m-1)/2;

n m 50 65 25 130 130 12 260 6 520 3 1040 1040 1 2080 + 2080 3250 图5.15 俄式乘法

}

temp=n;//记录倒数第二个n的值 }

return sum+n; }

int main() {

int a,b;

while(cin>>a>>b) {

cout<

8. 拿子游戏。考虑下面这个游戏:桌子上有一堆火柴,游戏开始时共有n根火柴,两个玩家轮流拿走1,2,3或4根火柴,拿走最后一根火柴的玩家为获胜方。请为先走的玩家设计一个制胜的策略(如果该策略存在)。

如果桌上有小于4根的火柴,先手必胜,如果是5根,先手必输;依次类推,同理15、20、25…….都是必输状态;所有每次把对手逼到15、20、25…….等必输状态,就可以获胜。

9. 竞赛树是一棵完全二叉树,它反映了一系列“淘汰赛”的结果:叶子代表参加比赛的n个选手,每个内部结点代表由该结点的孩子结点所代表的选手中的胜者,显然,树的根结点就代表了淘汰赛的冠军。请回答下列问题:

(1)这一系列的淘汰赛中比赛的总场数是多少?

(2)设计一个高效的算法,它能够利用比赛中产生的信息确定亚军。

(1)因为n人进行淘汰赛,要淘汰n-1人,所有要进行n-1场比赛。 (2)

10. 在120枚外观相同的硬币中,有一枚是假币,并且已知假币与真币的重量不同,但不知道假币与真币相比较轻还是较重。可以通过一架天平来任意比较两组硬币,最坏情况下,能不能只比较5次就检测出这枚假币?

将120枚平均分为三组,记为:A,B,C;先将A,B比较,如果A,B重量不同(假如B比A重),再将B与C比较,如果B,C相同,则A有假币;如果B,C不同,再将A,C比较,如果A,C相同,则B有假币;如果A,C不同,则B有假币;如果A,B相同,则C有假币;

习题6

1. 动态规划法为什么都需要填表?如何设计表格的结构?

在填写表格过程中,不仅可以使问题更加清晰,更重要的是可以确定问题的存储结构; 设计表格,以自底向上的方式计算各个子问题的解并填表。

2. 对于图6.26所示多段图,用动态规划法求从顶点0到顶点12的最短路径,写出求解过程。 1 6 3 8 1 7 3 3 3 5 6 5 10 4 4 5 5 8 2 0 12 3

5 3 8 3 11 3 7 9 8 2 6 6 6 4 图6.26 第2题图

将该多段图分为四段;

首先求解初始子问题,可直接获得: d(0, 1)=c01=5(0→1) d(0, 2)=c02=3(0→1)

再求解下一个阶段的子问题,有: d(0,3)= d(0, 1)+ c13 =6(1→3)

d(0,4)=min{d(0,1)+ c14 ,d(0,2)+ c24}=8(1→4) 。。。。。。。。(以此类推)

最短路径为:0→1→3→8→11→12 3.用动态规划法求如下0/1背包问题的最优解:有5个物品,其重量分别为(3, 2, 1, 4,5),价值分别为(25, 20, 15, 40, 50),背包容量为6。写出求解过程。

(x1, x2,x3,x4,x5) →(1,1,1,0,0)(过程略)

4. 用动态规划法求两个字符串A=\xzyzzyx\和B=\zxyyzxz\的最长公共子序列。写出求解过程。 略

5. 给定模式\和文本\,写出动态规划法求解K-近似匹配的过程。 略

6. 对于最优二叉查找树的动态规划算法,设计一个线性时间算法,从二维表R中生成最优二叉查找树。

7. Ackermann函数A(m, n)的递归定义如下:

n?1??A(m,n)??A(m?1,1)?A(m?1,A(m,n?1))?m?0m?0,n?0 m?0,n?0设计动态规划算法计算A(m, n),要求算法的空间复杂性为O(m)。

//求ackman函数 //使用栈

#include using namespace std;

long ackman(long m, long n) {

long stack[10000]; int pos=1;

stack[0]=m;stack[1]=n; while(pos) {

n=stack[pos--]; m=stack[pos]; if(m==0)

stack[pos]=n+1; if(m!=0&&n==0) {

stack[pos++]=m-1; stack[pos]=1; }

if(m!=0&&n!=0) {

stack[pos++]=m-1; stack[pos++]=m; stack[pos]=n-1; } }

return stack[0]; }

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