（本科）《微积分》练习四答案
一、填空题
x1?1．limx
x?0e?e?x24? 1 x?12x?1ln2x3．lim? 1
x?1(x?1)2x4．y?的单调区间是 增区间(?1,1)；减区间(??,?1),(1,??) 21?x85．函数y?2x?（x?0）的单调增加的区间是 (2,??)
x6．一质点作直线运动，其运动规律为S(t)?t4?6t2?t，则它速度开始增加的时刻为
t? t?1
542(x?0)的最小值是 12 7．函数y?x?x18．函数y?x?2x的极小值点为 ?
ln2329．曲线y?x?6x?16的拐点坐标是 (?2,0)
lnx10．函数y?x?的渐近线有 x?0或y?x
x二、单项选择题
1．如果函数y?ax?sinx?b在(??,??)上严格单调递增，则a,b应满足 D A.a?1且b?0 B.a?1且b?0 C.a?1且b?0 D.a?1且b为任意实数
2．lim2．下列各命题中，正确的是 B A.若y?f(x)在x?x0处有f\(x0)?0，则(x0,y0)一定是曲线y?f(x)的拐点 B.若可导函数y?f(x)在x?x0处取得极值，则f'(x0)?0
C.若y?f(x)在x?x0处有f'(x0)?0，则f(x)在x?x0处一定取得极值 D.极大值就是最大值
3．已知函数f(x)?x?ax?bx在点x?1处取得极值?2，则 B A.a??3,b?0且点x?1为函数f(x)的极小值点 B.a?0,b??3且点x?1为函数f(x)的极小值点 C.a??3,b?0且点x?1为函数f(x)的极大值点 D.a?0,b??3且点x?1为函数f(x)的极大值点
4．函数y?f(x)的导数y'?f'(x)的图像如图所示，则下列结论正确的是 D A.在(??,?1)内，曲线y?f(x)是凸的 B.在(??,??)内，曲线y?f(x)是凸的 C.在(??,??)内，曲线y?f(x)是直线 D.在(??,??)内，曲线y?f(x)是凹的
25．设函数f(x)满足f\(x)?[f'(x)]?x，且f'(0)?0，则 C
32arctanx?? A.f(0)是f(x)的极大值 B.f(0)是f(x)的极小值 C.(0,f(0))是曲线y?f(x)的拐点
１
（本科）《微积分》练习四答案
D.f(0)不是f(x)的极大值，(0,f(0))也不是曲线y?f(x)的拐点
三、求下列极限
x(ex?1)e2x?e?x?3x1．lim（=－2） 2．lim（=3）
x?0x?0cosx?11?cosx1?tanx?1?tanx3．lim xx?0e?1sec2x?sec2x0?1?tanx?1?tanx021?tanx21?tanxlim?1 [解] lim?xxx?0x?0e?1e1ln(a?bex)4．lim（b?0,n?0） （?）
2x???nm?nx(1?2x)2x?1xx?15．lim （=4） 6．lim （=1）
x?0x?1xlnxx2tanx?tan2x2?127．lim （?sec2） 8．lim （=2）
x?2sinln(x?1)x??1ln|x|?11??29．limx?1?cos? （?） 10．limx(3x?3x?2)（?(ln3)2）
x??x???2x??11??1?11．lim? （） ?2?x?0sin2x3x???93sin3x?xx （=1） ?12．lim?（） 13．lim???22x?0x?0ln(4?1?2x)xln(1?2x)?11214．lim(x?e) （=e） 15．limxx???x1x23ln(1?2x)x???（e）
3四、应用题
21．求y?2x?lnx的单调区间。 增区间(,??)；减区间(0,)
12122．求y?x?2arctanx的极值。 极小值y(1)?1?3．设y?xe2?x?2，极大值y(?1)??2?1
，列表讨论函数的增减区间和极值；曲线的凹凸区间和拐点。
x y? y?? y (??,0) － ＋ 0 0 ＋ 极小值 (0,2?2) ＋ ＋ 2?2 ＋ 0 拐点 2(2?2,2) ＋ － 2 0 － 极大值 (2,2?2) 2?2 － － － 0 拐点 (2?2,??) － ＋ ? ? y(0)?0 拐点坐标：2?2,(6?42)e?2?2,(6?42)e?2?2
24．某种商品的需求函数为Q?75?p（其中p为价格，Q为需求量）， （1）求p?4时的需求弹性，并说明其经济意义；
（2）若销售此种商品，问：当价格p为多少时，总收益最大？最大收益为多少？
（
?? ? ?，?2?? ? y(2)?4e?2 ?? ? ?? EQEp?p?432?0.54；p*?5，R*?250） 59 ２
（本科）《微积分》练习四答案
5．要建造一个容积为300m2的无盖圆柱形蓄水池，已知池底的单位造价是周围池边单位造
价的两倍。问蓄水池的尺寸怎样设计，才能使总造价最低。 [解] 设底半径为r和高为h，则?r2h?300，即h?300， ?r2设圆柱形蓄水池周围池边单位造价为k，该蓄水池总造价为 y?2k?r?2k?rh?2k?r? 由y??0得唯一驻点r?3的高为h?2?322600k600k，S??4k?r? rr2150?，又S???0，则唯一驻点也是最小值点，这时圆柱形
150?。
6．长为l的铁丝切成两段，一段围成正方形，另一段围成圆形，问这两段铁丝各为多长时，
正方形的面积与圆的面积之和最小？
[解] 设正方形的边长为x，则正方形的面积与圆的面积之和为
l?4x(l?4x)2S(x)?x?，S?(x)?2x?2?，
?4?l令S?(x)?0，得唯一驻点x0?，S??(x0)?0（有极小值），
4??4l4l,l?则两段铁丝分别为时，正方形的面积与圆的面积之和最小。 4??4??x2y27．求内接于椭圆2?2?1，且底边与x轴平行的等腰三角形之面积的最大值。
ab[解] 设三角形底边方程为y?t（?b?t?0），则三角形之面积为
21t2aA?(b?t)?2a1?2?(b?t)2(b2?t2)
2bb222设z?(b?t)(b?t)，则z的最大值点也是A的最大值点。 z???2(b?t)(b2?t2)?2t(b?t)2??2(b?t)2(b?2t)
b?b?2令z??0，得驻点t?b（舍去），t??，又z???????b?0，
2?2?b即t??为唯一极大值点，亦即为所求面积之最大值点，此时面积的最大值为
233A?ab
48．若直角三角形的一直角边与斜边之和为常数，求有最大面积的直角三角形。 [解] 记一直角边与斜边之和为L
设直角三角形的二直角边分别为x，y（?(L?x)2?x2），则三角形面积为
1LL2?3xL2S?xL?2xL（0?x?），S??
2222L?2xLL?L?2令S??0，得唯一驻点x?，又S??????3L?0，即此驻点为唯一极大值点，
3?3?L3亦即为所求面积之最大值点，此时二直角边分别为，L
33
３
（本科）《微积分》练习四答案
9．A，B两厂在直河岸的同侧，A沿河岸，B离岸4公里，A与B相距5公里，今在河岸边建一水厂C，从水厂到B厂的每公里水管材料费是A厂的5倍，问水厂C设在离
A厂多远处才使两厂所耗总的水管材料费为最省。
[解] 设AC长为x 公里 (0?x?3)，水厂到A厂的每公里水管材料费为k元，则总的水
管材料费为：
y?kx?5k42?(3?x)2(0?x?3)
y??k?5k(3?x)2
10．要做一个圆锥形漏斗，其母线长20㎝，要使其体积最大，问其高应为多少？ [解] 设圆锥形漏斗的高为h㎝，则锥底面半径为r? 漏斗的体积为V? V??16?(3?x) 又y??(1)?0，故x?1是唯一极小值点，亦为最小值点。 于是C离A厂1 (公里)时，可使两厂所耗总的水管材料费为最省。
，令y??0，得唯一驻点：x?1
400?h2㎝
1?h(400?h2)（0?h?20） 31203?(400?3h2)，令V??0，得唯一驻点：h?㎝ 33203 又V????2?h?0，则唯一驻点h?㎝也是极大值点，故由实际问题可知，此
3时漏斗体积最大。
11．一窗户的形状系由半圆置于矩形上面所形成。若窗框的周长L一定，试确定半圆的半径和矩形的高，使窗户的面积最大。
[解] 设半圆的半径为r, 则窗户的面积为：
11???S??r2?2r?(L?2r??r)?Lr??2??r2
222??LS??L?(4??)r，令S??0，得唯一驻点：r?
4??L 又S????(4??)?0，则唯一驻点r?也是最大值点，这时矩形的高为
4??LL2Lh?L?2?????。
4??4??4??12．要建立一个体积为50m的有盖圆柱形仓库，问其底半径和高是多少时用料最省？
3
50，该表面积为 ?r210010022 S?2?r?2?rh?2?r?，S??4?r?2
rr25 由S??0得唯一驻点r?3，又S???0，则唯一驻点也是最小值点，这时圆柱形
[解] 设底半径为r和高为h，则?r2h?50，即h??的高为h?2?325?。
313．要建立一个体积为8m的无盖圆柱形仓库，问其底半径和高是多少时用料最省？ [解] 设底半径为r和高为h，则?rh?8，即h?28，该表面积为 2?r ４