江西理工大学概率统计题库

???axa?1e??xx?0f(x)??,(??0,a?0)?0x?0?

据来自总体X的简单随机样本(X1,X2,?,Xn),求未知参数?的最大似然估计量。

22X~N(?,?)?,?10.设总体,是未知参数, X1,X2,?,Xn是来自X的一个样本,

x1,x2,?,xn是观察值,试求?,?2的极大似然估计量.

a?1?x?f(x)??e?,x?0??0,x?0? 11.设总体X的概率密度函数为 X1,X2是样本,(1)求参

??数?的极大似然估计?,(2)?是否为无偏估计。

12、设总体X的概率密度函数为

?e?(x??),x??f(x)??其他?0,

?为未知参数,X1,X2,?,Xn是来自X的样本。 ??(1)求?的矩估计量?1,并验证?1是?的无偏估计量。 ??(2)求?的极大似然估计?2,并验证?2不是?的无偏估计量。 13.设X1,X2,?,Xn为总体X的一个样本, X的概率密度为

?1? x????, x??f?x???e?? 0, x??, 其中??0,?为未知参数, 求?,?的矩估计量。?

2214.A,B两机器生产的铜管内径分别服从N(?1,?1)及N(?2,?2).随机地从A,B生产的铜管中分别取出18根和13根 ,测得其样本方差分别为:

2222s1?0.34(mm2),s2?0.29(mm2),且两样本相互独立,试求方差比?1/?2的置信度为0.9的置信区间。

15.某工厂生产一批滚珠, 其直径 X 服从N(?,?),现从某天的产品中随机

2抽取 6 件, 测得直径为15.1, 14.8, 15.2, 14.9, 14.6, 15.1 (1) 若??0.06,求?的置信区间;

2(2) 若

?2未知,求?的置信区间;

(3) 求标准差

?的置信区间.

(注:置信度均为0.95)

16.设X1,...,Xn是来自泊松分布P(?)的样本,试求?的无偏估计量.

222X,...,XY,...,YN(?,?)N(?,?)的样本,其中1n1m1217.设;是分别来自总体和

??1?0,?2?0?c、d已知. 求常数,使?cX?dY为?的无偏估计量,并使其

方差最小.

18.使用同一台仪器对某个零件的长度作了12次独立的测量,结果如下(单位:mm):

232.50, 232.48, 232.15, 232.53, 232.45, 232.30, 232.48, 232.05, 232.45, 232.60, 232.47, 232.30

试用矩估计法估计测量值的真值与方差(设仪器没有系统误差).

19.设X~B?N,p?,0?p?1,N为正整数,X1,?Xn为其子样,求N及p的矩估计量.

k?1P{X?k}?(1?p)p,k?1,2,? X 20.设总体服从几何分布,它的分布律为

X1,?,Xn是来自总体X的一个样本,求p的矩估计量与极大似然估计量. 21.设X1,?,Xn是来自总体X~U(a,b)的一个样本,求未知参数a、b的矩估

计量与极大似然估计量.

22.设X服从指数分布,其概率密度为

??e??x,x?0f(x;?)???0,x?0

,是来自总体的一个样本,求未知参数的矩估计量与极大似X,?,X(??0)?nX然估计量. 123.某批钢球的重量X~N(?,4),从中抽取了一个容量为n?16的样本且测得

x?22.5,s?3.98(单位:g),试在置信度1???0.95下,求出?的置信区间. 24.从某种炮弹中随机地取9发作试验,测得炮口速度的样本标准差s?11(米/秒).

N(?,?2)X设炮口速度服从,求这种炮弹的炮口速度的标准差和方差的置信区间(取??0.05).

25.设有一组来自正态总体

N(?,?2)的样本观测值:

0.497、0.506、0.518、0.524、0.488、0.510、0.510、0.515、0.512

2(1) 已知??0.01,求?的置信区间;(2)?未知,求?的置信区间(置信度取0.95);

(3) 求?的置信区间(置信度取0.95).

26. 设某批电子管的使用寿命服从正态分布, 从中抽出容量为10的样本, 测得使用寿命的标准差s?45(小时).求这批电子管使用寿命的均方差的置信水平为95%的单侧置信下限.

227.从正态总体N(3.4,?)中抽取容量为n的样本,如果要求其样本均值位于区间(1.4,5.4)内的概率不小于0.95,问样本容量n至少应取多少?

228. 假定每次试验时,事件A出现的概率p相同(但未知). 如果在60次独立试验中,事件A出现了15次,试求p的置信水平为95%的置信区间.

29. 设总体X~N(?1,64)与Y~N(?2,36)相互独立,从X中抽取n1?75的样本,得x=82;从Y中抽取n2?50的样本,得y?76. 试求?1??2的置信水平为95%的置信区间.

22Y~N(?,?)相互独立,从X中抽取n1?25的样本,X~N(?,?)221130.设总体与

?12222?n?16s?63.96s?49.05Y2212得;从中抽取的样本,得,试求两总体方差比的

置信水平为90%的置信区间.

五、证明题

1.设总体X服从参数为?的泊松分布,X1,X2,?,Xn是样本,X,S分别是样

2c(0?c?1)cX?(1?c)S本均值和样本方差。证明:对于任意常数,是?的无偏

估计量。

2?)?0?2?D(????2.设是参数为的无偏估计量,且,证明:不是?的无偏估计量.

nnX1,X2,...,Xn是来总体X的样本,记 3.设?W??aiXiai?0,?ai?1?i?1i?1?证明:W总是总体均值EX的无偏估计量,且D(W)?D(X).

22N(?,?)X,X,...,Xn为来自正态总体4.设12的样本,其中??0已知,试证明

1nX??Xini?1是未知参数?的一个无偏和一致估计量.

假 设 检 验 习 题

一、填空

2X?N(?,?),X1,X2,?,Xn是来自总体的样本,则检验假设H0:1、设总体

???0,当?2为已知时的统计量是 ;H0为真时服从

2

分布;当?未知时的统计量是 ;H0为真时服从

分布。

2、当H0为真时拒绝H0,这一类错误称为___________ _,用?表示犯这一类错误的概率,?又称为_________ 水平。当H0为假时接受H0,这一类错误称为_____________,用?表示犯这一类错误的概率,当n一定时,?,?间关系是_______________ 。

2X?N(?,?),?,?2均未知,X1,X2,?,Xn是来自X的样本,假设3、设

222H:???H0:?2??010, 所使用的统计量是 .若给定显

著性水平?,则拒绝域为 。 二、选择

22X,X,?,X?X~N(?,?)S12n1、设总体,为未知参数,样本的方差为,对

假设检验H0:??2,H1:??2,水平为?的拒绝域是 .

2222???(n?1)???); 1??/21??(n?1(A); (B)

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