???axa?1e??xx?0f(x)??,(??0,a?0)?0x?0?
据来自总体X的简单随机样本(X1,X2,?,Xn)，求未知参数?的最大似然估计量。
22X~N(?,?)?,?10.设总体,是未知参数, X1,X2,?,Xn是来自X的一个样本,
x1,x2,?,xn是观察值,试求?,?2的极大似然估计量.
a?1?x?f(x)??e?,x?0??0,x?0? 11.设总体X的概率密度函数为 X1,X2是样本，(1)求参
??数?的极大似然估计?，(2)?是否为无偏估计。
12、设总体X的概率密度函数为
?e?(x??),x??f(x)??其他?0,
?为未知参数，X1,X2,?,Xn是来自X的样本。 ??（1）求?的矩估计量?1，并验证?1是?的无偏估计量。 ??（2）求?的极大似然估计?2，并验证?2不是?的无偏估计量。 13.设X1,X2,?,Xn为总体X的一个样本, X的概率密度为
?1? x????, x??f?x???e?? 0, x??, 其中??0,?为未知参数, 求?,?的矩估计量。?
2214.A，B两机器生产的铜管内径分别服从N(?1,?1)及N(?2,?2).随机地从A，B生产的铜管中分别取出18根和13根 ，测得其样本方差分别为：
2222s1?0.34(mm2),s2?0.29(mm2)，且两样本相互独立，试求方差比?1/?2的置信度为0.9的置信区间。
15.某工厂生产一批滚珠, 其直径 X 服从N(?,?)，现从某天的产品中随机
2抽取 6 件, 测得直径为15.1, 14.8, 15.2, 14.9, 14.6, 15.1 (1) 若??0.06，求?的置信区间；
2(2) 若
?2未知,求?的置信区间；
(3) 求标准差
?的置信区间.
（注：置信度均为0.95）
16．设X1,...,Xn是来自泊松分布P(?)的样本，试求?的无偏估计量．
222X,...,XY,...,YN(?,?)N(?,?)的样本，其中1n1m1217．设;是分别来自总体和
??1?0,?2?0?c、d已知. 求常数，使?cX?dY为?的无偏估计量，并使其
方差最小.
18．使用同一台仪器对某个零件的长度作了12次独立的测量，结果如下(单位:mm):
232.50, 232.48, 232.15, 232.53, 232.45, 232.30, 232.48, 232.05, 232.45, 232.60, 232.47, 232.30
试用矩估计法估计测量值的真值与方差(设仪器没有系统误差).
19．设X~B?N,p?,0?p?1,N为正整数，X1,?Xn为其子样，求N及p的矩估计量.
k?1P{X?k}?(1?p)p,k?1,2,? X 20．设总体服从几何分布，它的分布律为
X1,?,Xn是来自总体X的一个样本，求p的矩估计量与极大似然估计量. 21．设X1,?,Xn是来自总体X~U(a,b)的一个样本，求未知参数a、b的矩估
计量与极大似然估计量.
22.设X服从指数分布，其概率密度为
??e??x,x?0f(x;?)???0,x?0
，是来自总体的一个样本，求未知参数的矩估计量与极大似X,?,X(??0)?nX然估计量. 123.某批钢球的重量X~N(?,4),从中抽取了一个容量为n?16的样本且测得
x?22.5,s?3.98（单位:g），试在置信度1???0.95下，求出?的置信区间. 24.从某种炮弹中随机地取9发作试验,测得炮口速度的样本标准差s?11(米/秒).
N(?,?2)X设炮口速度服从,求这种炮弹的炮口速度的标准差和方差的置信区间(取??0.05).
25.设有一组来自正态总体
N(?,?2)的样本观测值：
0.497、0.506、0.518、0.524、0.488、0.510、0.510、0.515、0.512
2（1） 已知??0.01，求?的置信区间；（2）?未知，求?的置信区间(置信度取0.95)；
（3） 求?的置信区间(置信度取0.95).
26. 设某批电子管的使用寿命服从正态分布, 从中抽出容量为10的样本, 测得使用寿命的标准差s?45(小时).求这批电子管使用寿命的均方差的置信水平为95%的单侧置信下限.
227.从正态总体N(3.4,?)中抽取容量为n的样本，如果要求其样本均值位于区间(1.4,5.4)内的概率不小于0.95，问样本容量n至少应取多少？
228. 假定每次试验时，事件A出现的概率p相同(但未知). 如果在60次独立试验中，事件A出现了15次，试求p的置信水平为95%的置信区间.
29. 设总体X~N(?1,64)与Y~N(?2,36)相互独立,从X中抽取n1?75的样本,得x=82；从Y中抽取n2?50的样本,得y?76. 试求?1??2的置信水平为95%的置信区间.
22Y~N(?,?)相互独立，从X中抽取n1?25的样本，X~N(?,?)221130.设总体与
?12222?n?16s?63.96s?49.05Y2212得；从中抽取的样本，得，试求两总体方差比的
置信水平为90%的置信区间.
五、证明题
1．设总体X服从参数为?的泊松分布，X1,X2,?,Xn是样本，X,S分别是样
2c(0?c?1)cX?(1?c)S本均值和样本方差。证明：对于任意常数，是?的无偏
估计量。
2?)?0?2?D(????2.设是参数为的无偏估计量，且，证明：不是?的无偏估计量.
nnX1,X2,...,Xn是来总体X的样本，记 3．设?W??aiXiai?0,?ai?1?i?1i?1?证明:W总是总体均值EX的无偏估计量，且D(W)?D(X).
22N(?,?)X,X,...,Xn为来自正态总体4．设12的样本，其中??0已知，试证明
1nX??Xini?1是未知参数?的一个无偏和一致估计量.
假 设 检 验 习 题
一、填空
2X?N(?,?)，X1,X2，?，Xn是来自总体的样本，则检验假设H0：1、设总体
???0，当?2为已知时的统计量是 ；H0为真时服从
2
分布；当?未知时的统计量是 ；H0为真时服从
分布。
2、当H0为真时拒绝H0，这一类错误称为___________ _，用?表示犯这一类错误的概率，?又称为_________ 水平。当H0为假时接受H0，这一类错误称为_____________，用?表示犯这一类错误的概率，当n一定时，?，?间关系是_______________ 。
2X?N(?,?)，?，?2均未知，X1,X2，?，Xn是来自X的样本，假设3、设
222H:???H0:?2??010， 所使用的统计量是 ．若给定显
著性水平?，则拒绝域为 。 二、选择
22X,X,?,X?X~N(?,?)S12n1、设总体，为未知参数，样本的方差为，对
假设检验H0:??2,H1:??2，水平为?的拒绝域是 .
2222???(n?1)???)； 1??/21??(n?1（A）； （B）