处相等；或者凡是电场强度的方向处处相同的地方，电场强度的大小必定处处相等。 证明：在电场中作任意矩形闭合回路 abcd， 移动电荷q一周，电场力作功为
A?q(Eab?Ecd)l?0Eabd a c b
?Ecd场强大小处处相等-6
４、 求与点电荷q=1.0×10C分别相距为a=1.0m和b=2.0m的两点间的电位差。
解：Uab?５、
11(?)?4.5?103(V) 4??0abq一点电荷q在离它10厘米处产生的电位为100V，求q 。
解：U?６、
q4??0r?q?U?4??0r?1.11?10?9C
求一对等量同号电荷联线中点的场强和电位，设电荷都是q ,两者之间距离为2l.
E?解：
q4??0l2q4??0l?q4??0l2q?0
U?７、
2l.
?4??0l?2q4??0l求一对等量异号电荷联线中点的场强和电位，设电荷分别是±q ,两者之间距离为
E?解：
q4??0lq4??0l2?q4??0lq2?2q4??0l2方向由?q指向?q
U?８、
?4??0l?0如图所示，AB=2l,OCD是以B为中心，l为半径的半圆，A点有正点电荷+q，B点
有负点电荷-q。
（１） 把单位正电荷从O点沿OCD移到D点，电场力对它作了多少功？
（２） 把单位负电荷从D点沿AB的延长线移到无穷远去，电场力对它作了多少功？ 解：电荷在电场中移动时，电场力作功等于电势能减少的值。
?D??D?W??F?dl??E?dl?UD?UD??UDOO（1）
?q?q?q???????4??0(3l)4??0l?6??0l
q C -q A O B D 21
（2）
??????W??F?dl??E?dl??(UD?U?)??UDDD?q?q?q???????4??0(3l)4??0l?6??0l
９、 两个点电荷的电量都是q，相距为l，求中垂面上到两者联线中点为x处的电位。
P q2??0?l?x????2?22解：根据电势的叠加原理
U?2q4??0r?
x q q
１０、 有两个异号点电荷me 和-e(n>1),相距为a ,
（１） 证明电位为零的等位面是一个球面；
（２） 证明球心在这两个点电荷的延长线上，且在-e点电荷的外边； （３） 这球的半径是多少？
解：以-e为原点O，两电荷的联线为x轴，取坐标系如图所示。根据电势叠加原理，空间
任一点的电势为
U??e4??0x2?y2?z2?ne4??0(x?a)2?y2?z2令U?0,得到(x?a)2?y2?z2?n2(x2?y2?z2)(n2?1)(x2?y2?z2)?2ax?a2?02axa2x?y?z?2??0n?1n2?1ana(x?2)2?y2?z2?(2)2n?1n?1ana这是一个球面,球心在(?2,0,0)点,半径为R?2n?1n?1a因n?1,故?2?0即球心在?e的外边n?1222z
y -e a ne x １１、 求电偶极子p=ql电位的直角坐标表达式，并用梯度求出场强的直角分量表达式。
解：（1）取坐标系如图所示，根据电势叠加原理
U?q?1?1?????4??0??r?r??????z
p x O P(x,y,z)
q?11???24??0?x2?y2??z?l/2?2x2?y2??z?l/2??y
22
??11???2??x2?y2??z?l/2?222x?y??z?l/2????12?12当r>>l时， ???1l2/4?zl?l2/4?zl??????1?x2?y2?z2?????1?x2?y2?z2???x2?y2?z2?????????1l2/4?zll2/4?zl?zl?1??1??2??2222222(x?y?z)?(x?y2?z2)32x2?y2?z2?2(x?y?z)U?zlpz ?22232222324??0(x?y?z)4??0(x?y?z)qEx???Up3xz??x4??0(x2?y2?z2)52?y3yz 222524??0(x?y?z)p（2）由电势梯度求得场强为E???U?y?Up2z2?x2?y2Ez????z4??0(x2?y2?z2)52１２、 证明如图所示电四极子在它的轴线延长线上的电
Q位为U?(r?l)，并由梯度求场强。4??0r31+q –2q +q
P r 其中Q?2ql2为电四极矩
解：取坐标系如图所示，根据电势的叠加原理
U??q??1?1?2??Q(r??l,Q?2ql2)34??0?r? ?r?lr?l?4??0r?U3QE????r4??0r4１３、 一电四极子如图所示，证明：当r>>l时，它在P（r,θ）点产生的电位为
2?co?s U??3qlsin(r??l)图中的极轴通过正方形中心O点，且与一边平行。 34??0rP(r, θ) +q -q l 解：（1）根据电势叠加原理 r U?q?1?11?1? ??????4??0?rrrr4??12?3l θ O l 极轴 l +q -q 23
l1?l?l?l?r1?r??cos(1350??)?r1????(sin??cos?)??2r2?r?r2?2?222l1?l?l?l?20r?r??2rcos(45??)?r1??(sin??cos?) ????2 2rr2???2?l1?l?l?l?r3?r??cos(450??)?r1????(si?n?co?s)??2r2rr2???2?22222l1?l?l?l?0r4?r??cos1(35??)?r1????(si?n?co?s)??2r2rr22????222 当r>>l时，(1?x)2?12?1?135x?x2?x3?(x2?1) 2816?122?11?1?l?l??1????(sin??cos?)?r1r?r??2?r??2?11?1?l?l??1????(sin??cos?)?r2r?r??2?r??2?11?1?l?l??1????(sin??cos?)?r3r?r??2?r???1?1l2l3l23l2??1??(sin??cos?)??sin?cos???r?4r22r8r24r2??1?1l2l3l23l2??1??(sin??cos?)??sin?cos???r?4r22r8r24r2??1?1l2l3l23l2??1??(sin??cos?)??sin?cos???r?4r22r8r24r2??1?1l2l3l23l2??1??(sin??cos?)??sin?cos???r?4r22r8r24r2??12?122?11?1?l?l??1????(sin??cos?)?r4r?r??2?r???12?q?1?11?1?1?l23ql2sin?co?s ?U? ???????3sin?co?s????23??4??0?r1r2?r3r4?r?r4??0r?（2）由电势梯度求场强
??U?1?U?E???U??er??e?r?rr??
3ql2??2??3sin?cos?e?(2cos??1)e?rr44??0r?? 此题也可以将平面电四极子当作两个电偶极子，由电偶极子产生的电势叠加求U及E。 １４、 求均匀带电圆环轴线上电位的分布，并画U—x 曲线。
解：（1）P点的电势及场强为
U??dq4??0x?R22?q4??0x?R
?qx22R O P x ??UE???U????x4??x2?R20??32（2）由电势表达式得
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