解：（１）应用高斯定理可求得三个区域内的场强为
???Q1rE－r曲线E1?0(r 34??0r?Q?Q2?Ｅ E3?1r ( r> R2) 34??0r? ( 2 ) 若Ｑ１＝－Ｑ２，E1=E3=0, E2??Q1r 4??0r3r R1 R2 E－r曲线如图所示。 ４、 根据量子理论，氢原子中心是一个带正电子qe的原子核（可以看成是点电荷），外面是带 负电的电子云。在正常状态（核外电子处在Ｓ态）下，电子云的电荷密度分布是球对称的： ?e?r???qe?2r/a0 式中a0为一常数（它相当于经典原子模型中s电子圆形轨道e3?a0的半径，称为玻尔半径）。求原子内电场的分布。 解：电子云是球对称分布，核外电子的总电荷量为 qQ?????dV??e3V?a0??0e?2r/a04q?4?rdr??3ea02??0r2e?2r/a0dr??4qe2??qe 33a0?2/a0? 可见核外电荷的总电荷量等于电子的电荷量。 应用高斯定理：核外电荷产生的场强为 ??qe2E?dS?E?4?r??3??S??0a0?r0e?2ra0?4?r2dr2r2r??r4qe?1??ar2ea0?area0dr ??00?3?0?0a0?2?qr2r??(22?2?1)ea0?e?0a0a0?0? qe2r 原子核与核外电荷产生的总场强为 E总?E核?E外 2rq??221??a01?q??????e????22?a2arr2?4??0r24??0?r4??r?000????q?2r22r??a0 ??a2?a?1??e0?0?2r５、 实验表明：在靠近地面处有相当强的电场，Ｅ垂直于地面向下，大小约为１００Ｎ／Ｃ； 在离地面1.5千米高的地方，Ｅ也是垂直地面向下的，大小约为２５Ｎ／Ｃ。 （１） 试计算从地面到此高度大气中电荷的平均密度； （２） 如果地球上的电荷全部均匀分布在表面，求地面上电荷的面密度。 解：（１）以地心为心作球形高斯面，恰好包住地面，由对称性和高斯定理得 13 ??Q12E?dS?Ecos?dS?E?4?R?(Q1是S1包围电荷代数和)111????SS?0再以R?h为半径作同心球面 ??Q22E?dS?Ecos?dS?E?4?(R?h)?(Q2是S2包围电荷代数和)2??2??2S 相减4?R2(E1?E2)?h(2R?h)E2?(Q2?Q1)/?0Q2?Q1?4??0R2(E1?E2)???Q2?Q1?0(E1?E2)??4.4?10?13(C/m3)2h4?Rh?S??0（２） 以地球表面作高斯面 ??12E?dS?Ecos?dS??E?4?R?1??1??1SS?0???dS?S1?0?4?R2 ???0E??8.85?10?10C/m2６、 半径为Ｒ的无穷长直圆筒面上均匀带电，沿轴线单位长度的电量为λ.求场强分布，并画 出E－r曲线。 解：应用高斯定理，求得场强分布为 Ｅ＝０ r Ｅ ?E???r r>R 2??0r2r R E－r曲线如图所示。 ７、 一对无限长的共轴直圆筒，半径分别为Ｒ１和Ｒ２，筒面上都均匀带电。沿轴线单位长度 的电量分别为λ１和λ２， （１） 求各区域内的场强分布； （２） 若λ１＝－λ２，情况如何？画出此情形的E－r曲线。 解：（１）由高斯定理，求得场强分布为 r R1 ?E2?Ｅ ??r 2??0r2R1 R2 r r> R2 （２）若λ １ ????2?E3?1r 2??0r2２ ＝－λ，Ｅ１＝Ｅ３＝０，Ｅ２不变。此情形的E－r曲线如图所示。 ８、 半径为Ｒ的无限长直圆柱体内均匀带电，电荷的体密度为ρ，求场强分布，并画出Ｅ— r曲线。 14 解：应用高斯定理，求得场强分布为 ???r 圆柱体内 E1?2?0Ｅ ??R2?圆柱体外 E2?r 22?0rE－r曲线如图所示 r R ９、 设气体放电形成的等离子体圆柱内的体电荷分布可用下式表示 ??r???1??r/a???022 ， 式中r是到轴线的距离，ρ０是轴线上的密度值，a是常数，求场强的分布。 解：应用高斯定理，作同轴圆柱形闭合柱面为高斯面。 ??1E?dS?2?rLE???S?0?V??r?dV?2?L?0?V1??r/a?21??0?2dV ?1?0?V?1??r/a???0222?rLdr??0r2?r?2(1???)2?a?2?0a2?0rE?2?0(a2?r2)Ｅ方向沿矢径r方向。 １０、 两无限大的平行平面均匀带电，电荷的面密度分别为±σ，求各区域的场强分布。 解：无限大均匀带电平面所产生的电场强度为 ??? E?n2?0根据场强的叠加原理，各区域场强分别为 E1 σ n E2 －σ ??????E1?(?n)?(?n)?02?02?0???????? En?(?n)?n2?2?02?0?0??????E3?n?n?02?02?0E3 可见两面外电场强度为零，两面间电场是均匀电场。平行板电容器充电后，略去边缘效应，其电场就是这样的分布。 １１、 两无限大的平行平面均匀带电，电荷的面密度都是σ，求各区域的场强分布。 ??? 解：与上题同理，无限大均匀带电平面所产生的电场强度为E?n2?0应用场强叠加原理，场强在各区域的分布为 15 ???????E1?(?n)?(?n)??n2?02?0?0???? E??n ?(?n)?022?02?0???????E3?n?n?n2?02?0?0σ n E1 E2 σ E3 可见两面间电场强度为零，两面外是均匀电场，电场强度大小相等，方向相反。 １２、 三个无限大的平行平面均匀带电，电荷的面密度分别为σ１、σ２、σ３，求下列情况 各处的场强：（１）σ１＝σ２＝σ３＝σ；（２）σ１＝σ３＝σ；σ２＝－σ；（３）σ＝σ３＝－σ；σ２＝σ；（４）σ１＝σ；σ２＝σ３＝－σ。 ??? 解：无限大均匀带电平面所产生的电场强度为E?n2?0各区域场强为各带电面产生场强的叠加 Ｅ１ ?１ Ｅ２ ? 2?0?Ｅ３ ? 2?0?Ｅ４ 3? 2?0σ１ σ２ σ３ （１） 3? ?2?0（２） ? ?2?0（３） ? ?2?0（４） ? ?2?0 ? ?2?0??? ?2?0??? ?2?0??Ｅ１ Ｅ２ Ｅ３ Ｅ４ ? 2?03? 2?0? 2?0? 2?0? 2?0? 2?0１３、 一厚度为d的无限大平板，平板体内均匀带电，电荷的体密度为ρ，求板内、板外 场强的分布。 解：根据对称性，板内外的电场强度方向均垂直于板面，并对中心对称。 应用高斯定理可求得： ???板内（r ?0??d? 板外（r>d/2）E?r2?0r１４、 在半导体p-n结附近总是堆积着正、负电荷，在n区内有正电荷，P区内有负电荷， 两区电荷的代数和为零。把p-n结看成是一对带正、负电荷的无限大平板，它们相互接触。取坐标x的原点在p、n区的交界面上，n区的范围是-xn≤x≤0,p区的范围是０≤x≤xP.设两区内电荷体密度分布都是均匀的： + n区 ?(x)?NDe， P区 ?(x)??NAe (突变结模型) + -xn + + + - - - - - - - - - O - - - - - - xp x 16 n区 p区