E??eQxx(1?)?(1?)222222?02??Rx?Rx?R 0Q4??0x2;R??时,E?0R?0时,E?14、 一均匀带电的正方形细框，边长为l，总电量为q ,求这正方形轴线上离中心为x
处的场强。
解：根据对称性，所求场强沿正方形的轴线方向
对于一段长为l的均匀带电直线，在中垂面上离中点为a处产生的电场强度为
?E1?e4??0
?2l?2ldxx2?a2x?a?ex2?a24??0al2?22l?2ldx(x2?a2)32 l O l l a r P ?a?e4??0?1?2?a??x2?a2???2l?el4??0aa?l/42l
正方形四边在考察点产生的场强为
qrr?4??0ar2?l2/4a4??0r2?l2/4r2?l2/2
??qr当r??l时,E?4??0r3E?4E1co?s?4?el??15、 证明带电粒子在均匀外电场中运动时，它的轨迹一般是抛物线。这抛物线在什么情况下退化为直线？
解：（1）设带电粒子的初速度方向与电场方向夹角为θ，其运动方程为
x?v0cos?t1qE2t2m
消去时间t,粒子运动的轨迹方程y?v0sin?t?qEx2?抛物线??y?tg?x?22m(v0cos?)（2）当E为均匀电场且粒子的初速度为零时，或初速度平行于电场方向时，初速度
没有垂直于场强方向的分量，抛物线退化为直线。
x?v0t?y?01qE2t2m
16、 如图所示，示波管偏转电极的长度l=1.5cm,两极间电场是均匀的，E=1.2×104V/m(E
方向垂直于管轴)，一个电子以初速度v0=2.6×107m/s沿管轴注入。已知电子质量
9
m=9.1×10-31kg, 电荷为e=-1.6×10-19.C. （1） 求电子经过电极后所发生的偏转；
（2） 若可以认为一出偏转电极的区域后，电场立即为零。设偏转电极的边缘到荧光屏
的距离D=10厘米，求电子打在荧光屏上产生的光点偏离中心O的距离。 解：（1）电子的运动方程得
dvx?0dtdvym?eE dtvx?v0mdyeEvy??tdtmP 偏转电极 ++++++++++ 电子V0 y′
y D O 荧光屏
------------ l eE2eE?l?t?l?vxt?v0t?y? ?y?2m2m??v0抛物线的斜率为 (2 )
??4???3.5?10m?0.35mm ?2dyeExdy??x?l??0.0462dxmv0dxy??y?ydy?4.6mm?y??5mmdx
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
§1.3 高斯定理
（1） 如果第二个点电荷放在高斯球面内；
（2） 如果将原来的点电荷移离了高斯球面的球心，但仍在高斯球面内。
答：由于穿过高斯面的电通量仅与其内电量的代数和有关，与面内电荷的分布及面外电
荷无关，所以 （1）电通量??q1?0（2）电通量变为??不变；
q1?q2?0；（3）电通量仍为??q1?0
4、（1）如果上题中高斯球面被一个体积减小一半的立方体表面所代替，而点电荷在立方体的
中心，则穿过该高斯面的电通量如何变化？（2）通过这立方体六个表面之一的电通量是多少？ 答：（1）立方形高斯面内电荷不变，因此电通量不变；
（2）通过立方体六个表面之一的电通量为总通量的1/6。即??1q 6?010
1、 附图所示，在一个绝缘不带电的导体球的周围作一同心高斯面S。试定性地回答，在将一
正点荷q移至导体表面的过程中， S （1） A点的场强大小和方向怎样变化？ （2） B点的场强大小和方向怎样变化？ （3） 通过S面的电通量如何变化？
答：由于电荷q的作用，导体上靠近A点的球面感应电荷-q′，远离A点的球面感应等量的+q′,其分布与过电荷q所在点和球心O的联线成轴对称，故±q′在A、B两点的场强E′沿AOB方向。
（1） E=E0+E′，q移到A点前，E0和E′同向，随着q的移近不断增大，总场强EA
也不断增大。q移过A点后，E0反向，且E0> E′，EA方向与前相反。随着q的远离A点，E0不断减小，±q′和E′增大，但因E′始终小于E0，所以EA不断减小。 （2） 由于q及±q′在B点的场强始终同向，且随着q移近导体球，二者都增大，所
以EB不断增大。 （3） q在S面外时，面内电荷代数和为零，故Φ=0；q在S面内时，Φ=q/ε0；当q在
S面上时，它已不能视为点电荷，因高斯面是无厚度的几何面，而实际电荷总有一定大小，此时Φ=△q/ε0，△q为带电体处于S面内的那部分电量。 2、 有一个球形的橡皮气球，电荷均匀分布在表面上，在此气球被吹大的过程中，下列各处的
场强怎样变化？
（1） 始终在气球内部的点；（2）始终在气球外部的点；（3）被气球表面掠过的点。 答：气球在膨胀过程中，电荷始终均匀分布在球面上，即电荷成球对称分布，故场强分
布也呈球对称。由高斯定理可知： 始终在气球内部的点，E=0，且不发生变化；
始终在气球外的点，场强相当于点电荷的场强，也不发生变化；
被气球表面掠过的点，当它们位于面外时，相当于点电荷的场强；当位于面内时，E=0，所以场强发生跃变。
3、 求均匀带正电的无限大平面薄板的场强时，高斯面为什么取成两底面与带电面平行且对称
的柱体的形状？具体地说，
（1） 为什么柱体的两底面要对于带电面对称？不对称行不行？ （2） 柱体底面是否需要是圆的？面积取多大合适？ （3） 为了求距带电平面为x处的场强，柱面应取多长？
答：（1）对称性分析可知，两侧距带电面等远的点，场强大小相等，方向与带电面垂直。
只有当高斯面的两底面对带电面对称时，才有E1=E2=E，从而求得E。如果两底在不对称，由于不知E1和E2的关系，不能求出场强。若已先证明场强处处相等，就不必要求两底面对称。
q A 导体球 B + 11
（2） 底面积在运算中被消去，所以不一定要求柱体底面是圆，面积大小也任意。 （3） 求距带电面x处的场强时，柱面的每一底应距带电面为x，柱体长为2x。同样，若已先证明场强处处相等，则柱面的长度可任取。
17、 求一对带等量异号或等量同号电荷的无限大平行平面板之间的场强时，能否只取一
个高斯面？
答：如果先用高斯定理求出单个无限大均匀带电平面的场强，再利用叠加原理，可以得到两个无限大均匀带电平面间的场强。在这样的计算过程中，只取了一个高斯面。 18、
已知一高斯面上场强处处为零，在它所包围的空间内任一点都没有电荷吗？
答：不一定。高斯面上E=0，S内电荷的代数和为零，有两种可能：一是面内无电荷，如高斯面取在带电导体内部；二是面内有电荷，只是正负电荷的电量相等，如导体空腔内有电荷q时，将高斯面取在导体中，S包围导体内表面的情况。 19、
要是库仑定律中的指数不恰好是2（譬如为3），高斯定理是否还成立？
4??0r?? 穿过以q为中心的球面上的电通量为 ??E?dS?q，此时通量不仅与面内电荷
??S?0r?有关，还与球面半径有关，高斯定理不再成立。
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――― 习题：
１、 设一半径为５厘米的圆形平面，放在场强为３００Ｎ／Ｃ的匀强电场中，试计算平面法
００
线与场强的夹角θ取下列数值时通过此平面的电通量。（１）θ＝０；（２）θ＝３０；
０００
（３）θ＝９０；（４）θ＝１２０；（５）θ＝１８０。
答：不成立。设库仑定律中指数为2+δ，E?1q
2????????E?dS???Ecos?dSSS解： ?1?0.75?N?m2/C2,?2?0.3753?;N?m2/C2,?3?0
.?4??0.375?;N?m2/C2?5??0.75?;N?m2/C2２、 均匀电场与半径为a的半球面的轴线平行，试用面积分计算通过此半球面的电通量。
解：通过半球面的电通量与通过半球面在
垂直于场强方向上的投影面积的电通量相等。 ????S??E?dS??E??ds???a2E
S３、 如附图所示，在半径为Ｒ１和Ｒ２的两个同心球面上，分别均匀地分布着电荷Ｑ１和Ｑ２，
求：
（１）Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域内的场强分布；
（２）若Ｑ１＝－Ｑ２，情况如何？画出此情形的Ｅ－r曲线。
Q2 Q1 R1 O 12
R2