??ax?b?sinx?dx为最小.并与1题及6题的一次逼近多项式误差作比较.
17. 求a、b使?1g(x)?C?a,b?,定义 f(x)18. 、
202(a)(f,g)??f?(x)g?(x)dx;(b)(f,g)??f?(x)g?(x)dx?f(a)g(a);aabb 问它们是否构成内积?
1
x6dx?01?x19. 用许瓦兹不等式(4.5)估计的上界,并用积分中值定理估计同一积分的上下界,
并比较其结果.
20. 选择a,使下列积分取得最小值:21. 设空间
?1?1(x?ax2)2dx,?x?ax2dx?11.
???span?1,x?,?2?span?x100,x101?,分别在?1、?2上求出一个元素,使得其为
x2?C?0,1?的最佳平方逼近,并比较其结果.
?1?span?1,x2,x4?f(x)?x?1,1??22. 在上,求在上的最佳平方逼近.
sin?(n?1)arccosx?un(x)?1?x223. 是第二类切比雪夫多项式,证明它有递推关系
un?1?x??2xun?x??un?1?x?.
24. 将
近多项式并画出误差图形,再计算均方误差.
f(x)?sin1x??1,1?2在上按勒让德多项式及切比雪夫多项式展开,求三次最佳平方逼
?1,1?上展成切比雪夫级数.
25. 把f(x)?arccosx在?26. 用最小二乘法求一个形如y?a?bx的经验公式,使它与下列数据拟合,并求均方误差.
19 25 31 38 44 xi 2yi 19.0 32.3 49.0 73.3 97.8 27. 观测物体的直线运动,得出以下数据: 0.9 1.9 时间t(秒) 0 3.0 3.9 5.0 110 10 30 50 80 距离s(米) 0 求运动方程. 28. 在某化学反应里,根据实验所得分解物的浓度与时间关系如下: 10 15 20 25 30 35 40 45 时间 0 5 浓度 0 1.27 2.16 2.86 3.44 3.87 4.15 4.37 4.51 4.58 用最小二乘拟合求y?f(t).
29. 编出用正交多项式做最小二乘拟合的程序框图. 30. 编出改进FFT算法的程序框图. 31. 现给出一张记录?50 4.62 55 4.64 xk???4,3,2,1,0,1,2,3?,试用改进FFT算法求出序列?xk?的离散频谱
?Ck?(k?0,1,?,7).
第四章 数值积分与数值微分
1. 确定下列求积公式中的待定参数,使其代数精度尽量高,并指明所构造出的求积公式所具
有的代数精度:
(1)(2)(3)
??h?h2hf(x)dx?A?1f(?h)?A0f(0)?A1f(h); ;
??2h1f(x)dx?A?1f(?h)?A0f(0)?A1f(h)?1f(x)dx??f(?1)?2f(x1)?3f(x2)?/3;
.
(4)?h0f(x)dx?h?f(0)?f(h)?/1?ah2?f?(0)?f?(h)?1?x22. 分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分:
1(1?e)xdx,n?8dx,n?10??04?x20x(1); (2);
1(3)1; (4)
3. 直接验证柯特斯公式(2.4)具有5次代数精度. 4. 用辛普森公式求积分0并计算误差. 5. 推导下列三种矩形求积公式:
(1)(2)(3)
?9?xdx,n?4?60?sin2?dx,n?6.
?1e?xdx??babab?af?(?)(b?a)22; f?(?)f(x)dx?(b?a)f(b)?(b?a)22;
a?bf?(?)f(x)dx?(b?a)f()?(b?a)3224. f(x)dx?(b?a)f(a)?6. 证明梯形公式(2.9)和辛普森公式(2.11)当n??时收敛到积分7. 用复化梯形公式求积分a超过?(设不计舍入误差)?
?baf(x)dx.
?bf(x)dx1,问要将积分区间?a,b?分成多少等分,才能保证误差不
28. 用龙贝格方法计算积分??0e?xdx,要求误差不超过10.
??5cS?a?21?()2sin2?d?0a9. 卫星轨道是一个椭圆,椭圆周长的计算公式是,这里a是椭圆
的半长轴,c是地球中心与轨道中心(椭圆中心)的距离,记h为近地点距离,H为远地点距离,R?6371公里为地球半径,则a?(2R?H?h)/2,c?(H?h)/2.我国第一颗人造
卫星近地点距离h?439公里,远地点距离H?2384公里,试求卫星轨道的周长.
n10. 证明等式
法求?的近似值.
nsin?????33!n2??55!n4??试依据nsin(?/n)(n?3,6,12)的值,用外推算
11. 用下列方法计算积分
(1) 龙贝格方法;
?31dyy并比较结果.
(2) 三点及五点高斯公式;
(3) 将积分区间分为四等分,用复化两点高斯公式.
f(x)?12. 用三点公式和五点公式分别求
差.f(x)的值由下表给出: 1.0 1.1 x 1(1?x)2在x?1.0,1.1和1.2处的导数值,并估计误
1.2 0.2066 1.3 0.1890 1.4 0.1736 f(x) 0.2500 0.2268 第五章 常微分方程数值解法
1. 就初值问题y??ax?b,y(0)?0分别导出尤拉方法和改进的尤拉方法的近似解的表达式，并与准确解
2. 用改进的尤拉方法解初值问题
y?12ax?bx2相比较。
?y??x?y,0?x?1;??y(0)?1,
x取步长h=0.1计算，并与准确解y??x?1?2e相比较。
3. 用改进的尤拉方法解
?y??x2?x?y;??y(0)?0,
?x2y??e?x?x?1相比较。 y(0.5)取步长h=0.1计算，并与准确解
4. 用梯形方法解初值问题
证明其近似解为
?y??y?0;??y(0)?1,
n?2?h?yn???,2?h??
?x并证明当h?0时，它原初值问题的准确解y?e。
5. 利用尤拉方法计算积分
??y??x?y,0?x?1;? 1）?y(0)?1,
?y??3y/(1?x),0?x?1;? 2）?y(0)?1.
x0edtt2在点x?0.5,1,1.5,2的近似值。
6. 取h=0.2，用四阶经典的龙格－库塔方法求解下列初值问题：
7. 证明对任意参数t，下列龙格－库塔公式是二阶的：
8. 证明下列两种龙格－库塔方法是三阶的：
h?y?y?(K2?K3);n?n?12??K?f(x,y);nn?1?K2?f(xn?th,yn?thK1);???K3?f(xn?(1?t)h,yn?(1?t)hK1).
h?y?y?(K1?3K3);n?n?14??K1?f(xn,yn);??hhK?f(x?,y?K1);nn?233??K?f(x?2h,y?2hK);nn2?3331） ? h?y?y?(2K1?3K2?4K3);n?n?19?K?f(xn,yn);??1?hhK?f(x?,y?K1);nn?222??K?f(x?3h,y?3hK).nn2?3442） ?
9. 分别用二阶显式亚当姆斯方法和二阶隐式亚当姆斯方法解下列初值问题：
y??1?y,y(0)?0,
?xh?0.2,y?0,y?0.181,y?1?ey(1.0)01取计算并与准确解相比较。
10. 证明解y??f(x,y)的下列差分公式
yn?1?是二阶的，并求出截断误差的首项。 11. 导出具有下列形式的三阶方法： 12. 将下列方程化为一阶方程组：
1h??1?yn??3yn??1)(yn?yn?1)?(4yn24
??b1yn??1?b2yn??2). yn?1?a0yn?a1yn?1?a2yn?2?h(b0yny???3y??2y?0,1）y(0)?1,y?(0)?1;
y???0.1(1?y2)y??y?0,2）y(0)?1,y?(0)?0;
xy??,y(t)??,r?x2?y2,33rr3）
x(0)?0.4,x?(0)?0,y(0)?0,y?(0)?2.
x??(t)??13. 取h=0.25，用差分方法解边值问题
14. 对方程y???f(x,y)可建立差分公式
?y???y?0;??y(0)?0,y(1)?1.68.