经济增长影响储蓄：低收入国与高收入国储蓄率不高，而中等收入国家储蓄率要高些（穷人与富人储蓄率不高，而中产阶级储蓄率要高些）。
由此可知：哈—多模型是个中性的理论，并没有说明为什么不同收入水平的国家经济增长率不同这一问题。
② 人口增长的内生性 人口增长率的“倒U型”行为 内生人口增长和经济增长
图3-2
3、索罗模型（solow model）
?的内生产生了索罗模型——这是对哈——多模型的修正。
?为什么会内生？单个生产要素的收益递减规律。
① 索罗模型
?t??F?K?t?,L?t??，这里有两种生产要素K?t?与L?t?，产出分为消费
??t??nL与投资品；规模收益不变；f??k?t???0，f???k?t???0及Inada条件；Lt，????t??sY?t???K?t? 。 K假定：生产函数为Y关键方程及其证明过程：
??t??sf?k?t????n???k?t? k?KL?K??k??k?1?K?K?K?L?K?2L????nk。又因证明：因为k?KL，所以k??K?LLLLLLL?为K?t??sY?t???K?t?，将其代入上式得到：
?KsY??K?k??nk??nk?sf?k???n???k
LL证毕。
图3-4 索罗模型动态
结论：人均资本存量保持在某个“稳定状态”水平，人均收入也是如此，从长期来看，不会有人均收入的增长，而总产出以人口增长率n增长。从长期来看，储蓄率对经济增长率没有影响。这一点与哈—多模型形成了强烈的对照（不同的原因在于内生还是外生的?）。
各参数对稳定状态的影响：由动态的索罗模型知道稳定状态时的方程为：
k*y*?s?n???
由上式可以分析各参数对稳定状态的影响。
水平效应与增长效应：增长效应指改变某一变量增长率的效应；水平效应则是增长率保持不变的效应。例如：在我们的模型中，总收入增长率为
n。则有
lnY?t??lnY?0??t?1?n?，故人口增长率的变化对总收入有增长效应。同理，储蓄率的变化，对人
均收入只有水平效应而没有增长效应。因此，可以将水平效应与增长效应表示成下图3-5：
Y?t??Y?0??1?n?t，
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4、技术进步
在前面的简单的solow模型中，引入劳动增进型技术进步，并假定技术进步率为?。
总产出 的对数 C A E 时间 图3-5 水平效应与增长效应
F D
B
?关键方程为：k 5、趋同 ①无条件趋同
?t??sf?k?t????n?????k?t?。为什么？（请证明关键方程并结合以图形分
析总收入及人均收入的增长率是多少）。
假设各国之间技术进步率、储蓄率、人口增长率与资本折旧率等不存在差异。 结论：人均收入增长率与初始人均收入值之间表现为负相关。
无条件趋同不仅要求国家收敛到它们各自的稳定状态，而且断言这些稳定状态都相同。 ①有条件趋同
假设技术进步率在各国之间相同，因为假设知识是可以自由流动的。 结论：低于自身稳定状态的国家将以比稳定状态增长率更快的增长。
什么叫有条件趋同？检验趋同的可能性时，对可能存在的国家之间的差异进行“条件化”。
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