系数．
(2)项的系数：项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与二项式系数是两个不
nrr
同的概念．如(a＋bx)n的展开式中，第r＋1项的系数是Crb. na
－
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
求解形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量 1x2－x?5的展开式中，含x4的项的系数是( ) [例1] (1)在二项式???A．10 B．－10 C．－5
D．20
2
x2－3?5的展开式中的常数项为( ) (2)(2017·武汉模拟)?x??A．80 B．－80 C．40 (3)已知
D．－40
?x－a?5的展开式中含x3的项的系数为30，则a＝( )
2x??
D．－6
A.3 B．－3 C．6
?x－1?
8
(4)?4?的展开式中的有理项共有________项．
2x??
1
x3＋2?n的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为________． (5)二项式?x??[解析] (1)由二项式定理可知，展开式的通项为Cr(－1)rx105·
2(－1)2＝10，故选A. 所以含x4项的系数为C5
－3r
，令10－3r＝4，得r＝2，
225－r?－?r＝(－2)rCr·10－5r，由10－5r＝0，得r＝2，∴T＝(－2)2C2＝(2)∵Tr＋1＝Cr5(x)5x353
?x?40.
5－2r5－2r3?－a?rrr5－r·1(－a)＝30，得(3)Tr＋1＝Cr(x)＝C(－a)x，由＝，解得r＝1.由C5??55
222?x?a＝－6.故选D.
?－1??x－1?16－3r－?－1?rCrrr8的展开式的通项为T8r
(4)?(x)＝x(r＝???＋1＝C8·r8442??42x???2x?
0,1,2，…，8)，为使Tr＋1为有理项，r必须是4的倍数，所以r＝0,4,8，故共有3个有理项．
3n(5)二项展开式的通项是Tr＋1＝Crnx
－3r
x
－2r
3n
＝Crnx
－5r
5r
，令3n－5r＝0，得n＝(r＝
3
0,1,2，…，n)，故当r＝3时，n有最小值5.
[答案] (1)A (2)C (3)D (4)3 (5)5 [方法技巧]
二项展开式问题的常见类型及解法
(1)求展开式中的特定项或其系数．可依据条件写出第k＋1项，再由特定项的特点求出k值即可．
(2)已知展开式的某项或其系数求参数．可由某项得出参数项，再由通项公式写出第k＋1项，由特定项得出k值，最后求出其参数．
求解形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式中与特定项相关的量 [例2] (1)(1－x)6(1＋x)4的展开式中x的系数是( ) A．－4 B．－3 C．3
D．4
(2)已知(1＋ɑx)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则ɑ＝( ) A．－4 B．－3 C．－2 D．－1
mm4[解析 (1)法一：(1－x)6的展开式的通项为Cm(－x)m＝Cm6·6(－1)x，(1＋x)的展2
nn
开式的通项为C4·(x)n＝Cn4x，其中m＝0,1,2，…，6，n＝0,1,2,3,4. 2
mn
令＋＝1，得m＋n＝2，于是(1－x)6(1＋x)4的展开式中x的系数等于C0(－1)0·C26·4
22
2(－1)2·＋C1(－1)1·C1C06·4＋C6·4＝－3.
法二：(1－x)6(1＋x)4＝[(1－x)(1＋x)]4(1－x)2＝(1－x)4(1－2x＋x)．于是(1－
1·x)6(1＋x)4的展开式中x的系数为C01＋C4(－1)1·1＝－3. 4·
法三：在(1－x)6(1＋x)4的展开式中要出现x，可分为以下三种情况：
0
①(1－x)6中选2个(－x)，(1＋x)4中选0个x作积，这样得到的x项的系数为C26C4
＝15；
②(1－x)6中选1个(－x)，(1＋x)4中选1个x作积，这样得到的x项的系数为C16(－1)1C14＝－24；
2③(1－x)6中选0个(－x)，(1＋x)4中选2个x作积，这样得到的x项的系数为C06C4
＝6.
故x项的系数为15－24＋6＝－3.
1(2)展开式中含x2的系数为C25＋aC5＝5，解得a＝－1.
[答案 (1)B (2)D [方法技巧]
求解形如(a＋b)n(c＋d)m的展开式问题的思路
(1)若n，m中一个比较小，可考虑把它展开得到多个，如(a＋b)2(c＋d)m＝(a2＋2ab＋b2)(c
＋d)m，然后展开分别求解．
(2)观察(a＋b)(c＋d)是否可以合并，如(1＋x)5·(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2；
(3)分别得到(a＋b)n，(c＋d)m的通项公式，综合考虑．
求解形如(a＋b＋c)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量 [例3] (1)(2017·湖北枣阳模拟)(x2＋x＋y)5的展开式中x5y2的系数为( ) A．10 B．20 C．30
D．60
4
x＋x－4?3展开后，常数项是________． (2)(2016·安徽安庆二模)将???
25r·2[解析] (1)(x2＋x＋y)5的展开式的通项为Tr＋1＝Cryr，令r＝2，则T3＝C25(x＋x)5(x23k·6k，令6－k＝5，则k＝1，所以(x2
＋x)3y2，又(x2＋x)3的展开式的通项为Ckxk＝Ck3(x)3x2C1＝30，故选C. ＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为C53
－
－
－
24?－2?k＝(－2)k·k6－k·6－2k. x＋－4?3＝?x－?6展开式的通项是Ck(2)?C6(x)6(x)x???x??x?令6－2k＝0，得k＝3.
3
所以常数项是C36(－2)＝－160.
[答案] (1)C (2)－160 [方法技巧]
求形如(a＋b＋c)n展开式中特定项的步骤
第一步，把三项的和a＋b＋c看作(a＋b)与c两项的和； 第二步，根据二项式定理求出[(a＋b)＋c]n的展开式的通项；
第三步，对特定项的次数进行分析，弄清特定项是由(a＋b)nr的展开式中的哪些项和cr
相乘得到的；
第四步，把相乘后的项相加减即可得到特定项．
能力练通 抓应用体验的“得”与“失” 1
x2－?6的展开式中，常数项是( ) 1．[考点一](2017·杭州模拟)?2x??551515
A．－ B. C．－ D.
441616
112)6－r?－?r＝?－?rCrx12－3r，令12－3r＝0，解得r＝4.所以常解析：选D Tr＋1＝Cr(x6
?2x??2?6
115－?4C4数项为?.故选D. 6＝?2?16
－
b
ax6＋?4的二项展开式中，如果x3的系数为20，那么ab3＝( ) 2．[考点一]在?x??A．20 B．15 C．10
D．5
br4－rr24－7r64－r??r3
解析：选D Tr＋1＝Cr·＝C·bx，令24－7r＝3，得r＝3，则4ab＝4(ax)4ax??20，所以ab3＝5.
1
1＋x＋2 015?10的展开式中，含x2项的系数为( ) 3．[考点三](2016·厦门联考)在?x??A．10 B．30 C．45
D．120
11191＋x＋2 015?10＝??1＋x?＋2 015?10＝(1＋x)10＋C1解析：选C 因为?10(1＋x)2 015＋…＋x?x???x1?10
10?2102222C10
?x2 015?，所以x项只能在(1＋x)的展开式中，所以含x的项为C10x，系数为C10＝45.
4．[考点二](1＋x)8(1＋y)4的展开式中x2y2的系数是( ) A．56 B．84 C．112
D．168
422
解析：选D (1＋x)8的展开式中x2的系数为C28，(1＋y)的展开式中y的系数为C4，所2
以x2y2的系数为C28C4＝168.
5．[考点二](x＋2)2(1－x)5中x7的系数与常数项之差的绝对值为( ) A．5 B．3 C．2
D．0
2070557解析：选A 常数项为C22×2×C5＝4，x的系数为C2×C5(－1)＝－1，因此x的系数
与常数项之差的绝对值为5.
x1?5
6．[考点三]??2＋x＋2?(x>0)的展开式中的常数项为________．
x1?x1??1?10－r(x)10－2r，令10－＋＋2?5(x>0)可化为?＋?10，因而Tr＋1＝Cr解析：?10
?2x??2?x??22r＝0，则r＝5，故展开式中的常数项为C510·
答案：
632
2
突破点(二) 二项式系数的性质及应用
基础联通 抓主干知识的“源”与“流” 二项式系数的性质
nk
(1)对称性：当0≤k≤n时，Ckn＝Cn.
－
?1?5＝632. 2?2?
n
(2)二项式系数的最值：二项式系数先增后减，当n为偶数时，第＋1项的二项式系数
2n＋1n＋3n
最大，最大值为Cn；当n为奇数时，第项和第项的二项式系数最大，最大值为222