(2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型．考虑逆向思维，用间接法处理．
分组分配问题
分组分配问题是排列、组合问题的综合运用，解决这类问题的一个基本指导思想就是先分组后分配．关于分组问题，有整体均分、部分均分和不等分三种，无论分成几组，都应注意只要有一些组中元素的个数相等，就存在均分现象．
[例3] (1)教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教．现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有________种不同的分派方法．
(2)某科室派出4名调研员到3个学校，调研该校高三复习备考近况，要求每个学校至少一名，则不同的分配方案种数为________．
(3)若将6名教师分到3所中学任教，一所1名，一所2名，一所3名，则有________种不同的分法．
22C26C4C2
[解析] (1)先把6个毕业生平均分成3组，有种方法，再将3组毕业生分到3所
A33
学校，有A33＝6
22C26C4C2
种方法，故将6个毕业生平均分到3所学校，共有·A33＝90种不同的A33
分派方法．
11C24C2C1(2)分两步完成：第一步，将4名调研员按2,1,1分成三组，其分法有种；第二步，
A22
将分好的三组分配到3个学校，其分法有种．
(3)将6名教师分组，分三步完成：
A33种，所以满足条件的分配方案有
11C24C2C1·A33＝36A22
第1步，在6名教师中任取1名作为一组，有C16种分法； 第2步，在余下的5名教师中任取2名作为一组，有C25种分法； 第3步，余下的3名教师作为一组，有C33种分法．
23
根据分步乘法计数原理，共有C16C5C3＝60种分法．
再将这3组教师分配到3所中学，有A33＝6种分法， 故共有60×6＝360种不同的分法． [答案 (1)90 (2)36 (3)360
[方法技巧] 分组分配问题的三种类型及求解策略 类型 整体求解策略 解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除
均分 部分均分 不等分组 以Ann(n为均分的组数)，避免重复计数 解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数 只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数 能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1．[考点一]A，B，C，D，E，F六人围坐在一张圆桌周围开会，A是会议的中心发言人，必须坐在最北面的椅子上，B，C二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的座次有( )
A．60种 C．30种
B．48种 D．24种
解析：选B 由题知，可先将B，C二人看作一个整体，再与剩余人进行排列，则不同
4
的座次有A22A4＝48种．
2．[考点一]有5列火车分别准备停在某车站并行的5条轨道上，若快车A不能停在第3道上，货车B不能停在第1道上，则5列火车不同的停靠方法数为( )
A．56 C．72
B．63 D．78
5种不同的停靠方法；快车A停解析：选D 若没有限制，5列火车可以随便停，则有A5
在第3道上，则5列火车不同的停靠方法为A44种；货车B停在第1道上，则5列火车不同的停靠方法为A44种；快车A停在第3道上，且货车B停在第1道上，则5列火车不同的停
5－2A4＋A3＝120－48＋6＝78. 靠方法为A3故符合要求的5列火车不同的停靠方法数为A53种．43
3．[考点三]某局安排3名副局长带5名职工去3地调研，每地至少去1名副局长和1名职工，则不同的安排方法总数为( )
A．1 800 C．300
B．900 D．1 440
3
1
1
1
2
2
C5C2C1C5C4C2?
＋解析：选B 分三步：第一步，将5名职工分成3组，每组至少1人，则有?A2?A2?22
种不同的分组方法；第二步，将这3组职工分到3地有A33种不同的方法；第三步，将3名副局长分到3地有A33种不同的方法．根据分步乘法计数原理，不同的安排方案共有C1C5C4C2?33?C5C2
A3A3＝900(种)，故选B. 2
?A2＋A2?·2
4．[考点二]如图所示，要使电路接通，则5个开关不同的开闭方式有________种．
3
1
1
1
2
2
13
解析：当第一组开关有一个接通时，电路接通有C1(C3＋C22·3＋C3)＝14种方式；当第一123组两个都接通时，电路接通有C22(C3＋C3＋C3)＝7种方式，所以共有14＋7＝21种方式．
答案：21
5．[考点二]有9名学生，其中2名会下象棋但不会下围棋，3名会下围棋但不会下象棋，4名既会下围棋又会下象棋；现在要从这9名学生中选出2名学生，一名参加象棋比赛，另一名参加围棋比赛，共有________种不同的选派方法．
解析：设2名会下象棋但不会下围棋的同学组成集合A,3名会下围棋但不会下象棋的同学组成集合B,4名既会下围棋又会下象棋的同学组成集合C，则选派2名参赛同学的方法可以分为以下4类：
1·第一类：A中选1人参加象棋比赛，B中选1人参加围棋比赛，选派方法为C2C13＝6
种；
1·第二类：C中选1人参加象棋比赛，B中选1人参加围棋比赛，选派方法为C4C13＝12
种；
1·第三类：C中选1人参加围棋比赛，A中选1人参加象棋比赛，选派方法为C4C12＝8
种；
第四类：C中选2人分别参加两项比赛，选派方法为A24＝12种； 由分类加法计数原理，不同的选派方法共有6＋12＋8＋12＝38(种)． 答案：38
[全国卷5年真题集中演练——明规律] 1．(2016·全国甲卷)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )
A．24 B．18 C．12
D．9
解析：选B 分两步：第一步，从E→F，有6条可以选择的最短路径；第二步，从F→G，有3条可以选择的最短路径．由分步乘法计数原理可知有6×3＝18条可以选择的最短路径．故选B.
2．(2016·全国丙卷)定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…ak中0的个数不少于1的个数，若m＝4，则不同的“规
范01数列”共有( )
A．18个 C．14个
B．16个 D．12个
解析：选C 当m＝4时，数列{an}共有8项，其中4项为0,4项为1，要满足对任意k≤8，a1，a2，…ak中0的个数不少于1的个数，则必有a1＝0，a8＝1，a2可为0，也可为1.(1)当
1＝a2＝0时，分以下3种情况：①若a3＝0，则a4，a5，a6，a7中任意一个为0均可，则有C4
4种情况；②若a3＝1，a4＝0，则a5，a6，a7中任意一个为0均可，有C13＝3种情况；③若a3＝1，a4＝1，则a5必为0，a6，a7中任意一个为0均可，有C12＝2种情况；(2)当a2＝1时，必有a3＝0，分以下2种情况：①若a4＝0，则a5，a6，a7中任一个为0均可，有C13＝3种情况；②若a4＝1，则a5必为0，a6，a7中任一个为0均可，有C12＝2种情况．综上所述，不同的“规范01数列”共有4＋3＋2＋3＋2＝14个，故选C.
3．(2012·新课标全国卷)将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有( )
A．12种 C．9种
B．10种 D．8种
解析：选A 2名教师各在1个小组，给其中1名教师选2名学生，有C24种选法，另2名学生分配给另1名教师，然后将2个小组安排到甲、乙两地，有A22种方案，故不同的安排
2
方案共有C24A2＝12种，选A.
[课时达标检测] 重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考
[练基础小题——强化运算能力]
1．(2016·四川高考)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为( )
A．24 C．60
1A4＝72. 解析：选D 奇数的个数为C34
B．48 D．72
2．世界华商大会的某分会场有A，B，C三个展台，将甲、乙、丙、丁共4名“双语”志愿者分配到这三个展台，每个展台至少1人，其中甲、乙两人被分配到同一展台的不同分法的种数有( )
A．12种 C．8种
B．10种 D．6种
解析：选D 因为甲、乙两人被分配到同一展台，所以可以把甲与乙捆在一起，看成一个人，然后将3个人分到3个展台上进行全排列，即有A33种分配方法，所以甲、乙两人被分配到同一展台的不同分法的种数有A33＝6种．