第十一章?计数原理、概率、随机变量及其分布列 第一节 排列、组合
本节主要包括2个知识点： 1.两个计数原理；
突破点(一) 两个计数原理
基础联通 抓主干知识的“源”与“流”
1．分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法．
2．分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．
3．两个计数原理的比较 名称 相同点 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 2.排列、组合问题.
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都是解决完成一件事的不同方法的种数问题 运用加法运算 分类完成一件事，并且每类办法中的每种方运用乘法运算 分步完成一件事，并且只有各个步骤都完成才算完成这件事情，要注意“步”与“步”之间的连续性．分步计数原理可利用“串联”电路来理解 不同点 法都能独立完成这件事情，要注意“类”与“类”之间的独立性和并列性．分类计数原理可利用“并联”电路来理解 考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
分类加法计数原理
能用分类加法计数原理解决的问题具有以下特点： (1)完成一件事有若干种方法，这些方法可以分成n类．
(2)用每一类中的每一种方法都可以完成这件事．
(3)把各类的方法数相加，就可以得到完成这件事的所有方法数．
[例1] (1)在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有________个． (2)如图，从A到O有________种不同的走法(不重复过一点)． x2y2
(3)若椭圆m＋n＝1的焦点在y轴上，且m∈{1,2,3,4,5}，n∈{1,2,3,4,5,6,7}，则这样的椭圆的个数为________．
[解析] (1)法一：按个位数字分类，个位可为2,3,4,5,6,7,8,9，共分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别有1个，2个，3个，4个，5个，6个，7个，8个，则共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36个两位数．
法二：按十位数字分类，十位可为1,2,3,4,5,6,7,8，共分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别有8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个，则共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36个两位数．
(2)分3类：第一类，直接由A到O，有1种走法；
第二类，中间过一个点，有A→B→O和A→C→O 2种不同的走法； 第三类，中间过两个点，有A→B→C→O和A→C→B→O 2种不同的走法． 由分类加法计数原理可得共有1＋2＋2＝5种不同的走法． (3)当m＝1时，n＝2,3,4,5,6,7，共6个； 当m＝2时，n＝3,4,5,6,7，共5个； 当m＝3时，n＝4,5,6,7，共4个； 当m＝4时，n＝5,6,7，共3个； 当m＝5时，n＝6,7，共2个．
故共有6＋5＋4＋3＋2＝20个满足条件的椭圆． [答案] (1)36 (2)5 (3)20 [易错提醒]
(1)根据问题的特点确定一个合适的分类标准，分类标准要统一，不能遗漏． (2)分类时，注意完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，不能重复．
分步乘法计数原理 能用分步乘法计数原理解决的问题具有以下特点： (1)完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可． (2)完成每一步有若干种方法．
(3)把各个步骤的方法数相乘，就可以得到完成这件事的所有方法数．
[例2] (1)从－1,0,1,2这四个数中选三个数作为函数f(x)＝ax2＋bx＋c的系数，则可组成
________个不同的二次函数，其中偶函数有________个(用数字作答)．
(2)如图，某