例17：如果函数f(x)?变式：已知函数f?x??kx2?4kx?3的定义域为R，则实数k的取值范围是 . mx2??m?3?x?1的值域是[0,??)，则实数m的取值范围是_____________
三．函数的值域
1.二次函数类型（图象法）:
例18：函数y?x?2x?3 ，x???1,4?的值域为 换元后可化为二次函数型：
2例19：求函数y?x?1?2x的值域为 真题：【2017年浙江卷第5题】若函数是m,则M-m
A. 与a有关，且与b有关 B. 与a有关，但与b无关 C. 与a无关，且与b无关 D. 与a无关，但与b有关 2.单调性法
例20：求函数f(x)?3.复合函数法
例21：求函数f(x)?4?2xx?1f?x?=x2?ax?b在区间[0,1]上的最大值是M,最小值
x?1 x??1,4?的最大值和最小值。 x?5真题：求函数f?x??log1x?2x?3的范围。
22??3 x???2,4?的最大值和最小值。
?4.函数有界性法
2?x2例22：函数f(x)?的值域为
1?x25.判别式法
x2?3x?2例23：函数f(x)?2的值域为 x?x?16.不等式法求最值（不等式部分讲解） 例24：函数f?x?=
1的最大值是
1?x(1?x)7.导数法求函数的极值及最值（详见导数专题）
真题：
【2014上海文，7】设g(x)是定义在R上、以1为周期的函数，若f(x)?x?g(x)在[0,1]上的值域为
[?2,5]，则f(x)在区间[0,3]上的值域为 ．
【2012高三一模虹口区13】已知函数f(x)?2x?a,g(x)?x?6x?1，对于任意的x1?[?1,1]都能找到
2x2?[?1,1],使得g(x2)?f(x1)，则实数a的取值范围是 ．
（2016年全国II卷高考）下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10的定义域和值域相同的是（ ）
lgx
- 5 -
（A）y=x （B）y=lgx （C）y=2
x （D）y?1 x四．函数的奇偶性
定义：若f??x???f?x?，或者f??x??f?x??0，则称f?x?为奇函数。 若f??x??f?x?，则称f?x?为偶函数。
f?x?有奇偶性的前提条件：定义域必须关于原点对称。
结论：
常见的偶函数：f?x??x常见的奇函数：f?x??x2n，f?x??x，f?x??cosx，f?x??a?ax?x等等。
kx?x，f?x??sinx，f?x??a?a， xax111?x?1?2f?x??x?，f?x???x，f?x??loga??，f?x??logax?1?x等等。
a?122a?1?x?1?2n?1 ，f?x??kx，f?x????结论：
奇+奇=奇 偶+偶=偶 奇+偶=非奇非偶
奇*奇=偶 偶*偶=偶 奇*偶=奇 偶+常数=偶 奇+常数=非奇非偶 因为f??x???f?x?为奇函数，f??x??f?x?为偶函数，所以可以把奇函数看作是“负号”，把偶函数看作是“正号”，则有助于记忆。
题型一：判断函数的奇偶性：
1.图像法.
例25：画出函数 f(x)?5 的图象并判断函数f(x)的奇偶性 2．定义法：
例26：判断函数f(x)?1?x2?
3．结论法
x2?1的奇偶性 12011f(x)?x??x的奇偶性 例27：判断函数
x题型二：已知函数奇偶性的求解问题
2例28：已知函数y?f(x)为定义在R上的奇函数，且当x?0时f(x)?x?2x?3，求 f(x) 的解析式
2例29：已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)?x?4x，那么，不等式f(x?2)?5的解
集是_______
?2x?b例30：已知定义域为R的函数f(x)?x?1是奇函数.则a? .b
2?a真题：【2013?辽宁文，6】6．若函数f?x??x为奇函数，则a? ．
?2x?1??x?a?2【2015，新课标】若函数f(x)＝xln(x＋a?x)为偶函数，则a＝ 2x?1【2015高考山东文8】若函数f(x)?x是奇函数，则使（fx）?3成立的x的取值范围为
2?a（2016年天津高考）已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(??,0)上单调递增，若实数a满足
- 6 -
f(2|a?1|)?f(?2)，则a的取值范围是（ ）
（A）(??,)
12
（B）(??,)?(,??) （C）(,) （D）(,??)
?x1232132232【2017年山东卷第14题】已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当x?[?3,0]时,f(x)?6,则f(919)= .
【2017年天津卷第6题】已知奇函数f(x)在R上是增函数.若
1a??f(log2),b?f(log24.1),c?f(20.8)，则a,b,c的大小关系为
5（A）a?b?c（B）b?a?c（C）c?b?a（D）c?a?b
1xx【2017年北京卷第5题】已知函数f(x)?3?()，则f(x)
3（A）是偶函数，且在R上是增函数 （B）是奇函数，且在R上是增函数 （C）是偶函数，且在R上是减函数 （D）是奇函数，且在R上是增函数
题型三：f?x??g?x??c，其中g?x?为奇函数，c为常数，则：f??a??f?a??2c
例31：已知?(x),?(x)都是奇函数，且f(x)??(x)??(x)?2在x??1,3?的最大值是8，则f(x)在
x???3,?1?的最 值是 2?x?1??sinx真题：【2012高考新课标文16】设函数f?x??的最大值为M，最小值为m，则M+m=____
x2?1【2011广东文12】设函数f(x)?xcosx?1．若f(a)?11，则f(?a)? ．
【2013重庆高考文科 9】已知函数f(x)?ax?bsinx?4(a,b?R)，f(lg(log210))?5，则f(lg(lg2))?
A.?5 B.?1 C.3 D.4
【2013高考文 7】已知函数f(x)?ln(1?9x2?3x)?1，则f(lg2)?f(lg)?（ ） A.3312?1B.0C.1D.2
题型四：利用奇偶性和周期性求函数值的问题
?例32：设f(x)是定义在R上的奇函数，当x??时，f(x)??x?x，则f(?)?( )．
5例33：设f?x?是周期为2的奇函数，当0?x?1时，f?x??2x?1?x?，则f(?)?
2真题：（2016年四川高考）若函数f（x）是定义R上的周期为2的奇函数，当0 -23 （2016年山东高考）已知函数f(x)的定义域为R.当x＜0时，f(x)=x-1；当-1≤x≤1时，f(-x)= —f(x)； - 7 - 当x＞ 111时，f(x+)=f(x—).则f(6)= 222（A）-2 （B）-1 （C）0 （D）2 ?x?a,?1?x?0,?（2016年江苏省高考）设（fx）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[ ?1,1)上，f(x)??2 ?x,0?x?1,?5?其中a?R. 若f(?)?f() ，则f(5a)的值是 ▲ . 【2017年山东卷第14题】已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当x?[?3,0]时,f(x)?6,则f(919)= . ?x5292五．函数的单调性 定义：如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1，x2,当x1＜x2时都有f(x1)＜f(x2).那么就说f(x)在 这个区间上是增函数。如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时都有f(x1)＞f(x2).那么就是f(x)在这个区间上是减函数。 定义变形：若对任意x1?x2,都有f?x1??f?x2??0，则f?x?为单调递减函数 x1?x2题型一：判断函数的单调性 1.图像法. 例34：画出函数f?x??x?2x的图像并判断函数的单调性 . 2例35：画出函数f?x??xx?2的单调递增区间为___________. 2.定义法： 证明方法步骤：1.设值 2.作差（作商） 3.化简 4.定号 5.结论 例36：判断函数y?x?4在在?0,2?上的单调性 x23.结论法 复合函数的单调性：同增异减 例37：写出函数f(x)?log1(?x?4x?3)的单调递增区间 24.导数法 例38：函数f(x)?lnx?真题： 【2011?重庆理，5】下列区间中，函数f(x)?ln(2?x)在其上为增函数的是( )． 1?3的单调区间 x A．(??,1] B．??1,? C．[0,) D．[1,2) 32??4??3 - 8 -