图形的分割与拼接
例题精讲
本讲主要学习三大图形处理方法： 1．理解掌握图形的分割； 2．理解掌握图形的拼合； 3．理解图形的剪拼．
本讲中很多类型的题目还要求同学们去动手尝试．通过本讲知识的学习，让同学们了解不同图形的分割、拼合、剪拼的方法，锻炼同学们的平面想象能力以及增强学生的动手操作能力．
把一个几何图形按某种要求分成几个图形，就叫做图形的分割．
反过来，按一定的要求也可以把几个图形拼成一个完美的图形，就叫做图形的拼合． 将一个或者多个图形先分割开，再拼成一种指定的图形，则叫做图形的剪拼． 我们在图形的分割、拼合和剪拼的过程中，都要结合所提供的图形特点来思考．
如果把一个图形分割成若干个大小、形状相等的部分，那么就要想办法找图形的对称点，把图形先分少，再分多．
图形中，如果有数量方面的要求，可以先从数量入手，找出平分后每块上所含数量的多少，再结合数量来分割图形．
如果是要把几个图形拼合成一个大图形，要特别注意每条边的长度，把相等的边长拼合在一起，先拼少的，再拼多的．
如果是剪拼图形，要抓住“剪、拼前后图形的面积相等”这个关键，根据已知条件和图形的特点，通过分析推理和必要的计算，确定剪拼的方法．
板块一 图形的分割
【例 1】 用一条线段把一个长方形平均分割成两块，一共有多少种不同的分割法？
A
OB
【解析】 怎样把一个图形按照规定的要求分割成若干部分呢？这就是图形的分割问题．按照规定的要求合理
分割图形，是很讲究技巧的，多做这种有趣的训练，可以培养学生的创造性思维，发展空间观念，丰富想象，提高观察能力．
这道题要求把长方形平均分割成两块，过长方形中心的任意一条直线都可以把长方形平均分割成两块，根据这点给出如下分法(如右图)： ⑴ 做长方形的两条对角线，设交点为O
⑵ 过O点任作一条直线AB，直线AB将长方形平均分割成两块．
可见用线段平分长方形的分法是无穷多的．
【巩固】画一条直线，将六边形分成大小相等、形状相同的两部分，这样的直线有 条． 【解析】 无数条．任何过六边形中心的直线均符合要求．
【例 2】 把任意一个三角形分成面积相等的4个小三角形，有许多种分法．请你画出4种不同的分法． 【解析】 根据等底等高的三角形面积相等这一结论，只要把原三角形分成4个等底等高的小三角形，它们的
面积必定相等．而要得到这4个等底等高的小三角形，只需把原三角形的某条边四等分，再将各分点与这边相对的顶点连接起来就行了．根据上面的分析，可得如左下图所示的三种分法．又因为4???1?4???2?2，所以，如果我们把每一个小三角形的面积看做1，那么1?4就可以视为把三角形的面积直接分成4等份，即分成4个面积为1的小三角形；而2?2可以视为先把原三角形分成两等份，再把每一份分别分成两等份．根据前面的分析，在每次等分时，都要想办法找等底等高的三角形． 根据上面的分析，又可以得到如右下图的另两种分法．
AAAB BC CB
C
【巩固】把任意一个三角形分成面积相等的2个小三角形，有许多种分法．请你画出3种不同的分法．
AAAB
【解析】 根据等底等高的三角形面积相等这一结论，只要把原三角形分成2个等底等高的小三角形，它们的
面积必定相等．而要得到这2个等底等高的小三角形，只需找出原三角形的某条边的中点与这边相对的顶点连接起来就行了．根据上面的分析，可得如图所示的三种分法．
【例 3】 怎样把一个等边三角形分别分成8块和9块形状、大小都一样的三角形．
CBCBC→ 【解析】 ⑴分成8块的方法是：先取各边的中点并把它们连接起来，得到4个大小、形状相同的三角形，
然后再把每一个三角形分成两部分，得到如左上图所示的图形．
⑵分成9块的方法是：先把每边三等分，然后再把分点彼此连接起来，得到加上右上图所示的符合条件的图形．
【例 4】 下图是一个直角梯形，请你画一条线段，把它分成两个形状相同并且面积相等的四边形．
A1BA1B23FE1DCC22
【解析】 直角梯形的上底为1，下底为2，要分成两个相同的四边形，需要一条边可以分成1和2，AD边长
D
正好为3，所以AD边分成两段，找到AD的三等分点E，现在，CD?AE，DE?AB，BF?EF，所以还要找到BC的中点F，连接EF，就把梯形ABCD分成完全相同的两部分．如右上图．
【例 5】 在一块长方形的地里有一正方形的水池(如下图)．试画一条直线把除开水池外的这块地平分成两块．
OA 【解析】 用连对角线的办法找出这块长方形地的中心O和正方形水池的中心A．过O、A画一条直线，这条
直线正好能把除开水池外的这块地平分为两块(如右上图)．
OA
【例 6】 把下图四等分，要求剪成的每个小图形形状、大小都一样．除了剪正方形外，你还有别的方法吗？
2020402060402060 【解析】 先把图形分成20?40相等的两块，每一块中再分成相等的两份，这样就不难分成四块了，如右上图．
【例 7】 下图是一个3?4的方格纸，请用四种不同的方法将它分割成完全相同的两部分，但要保持每个小方
格的完整．
【解析】 分成的两块每块有12?2?6(个)小格，并且这两块要关于中心点对称，大小和形状完全一样，我们
从对称线入手，介绍一种分割技巧——染色法，先选中一个小格，找它关于中心点或中心线的对称位置，标上相应的符号．当找它关于中心线的对称位置时是一种情况，关于中心点的对称位置是另一种情况，具体如下图所示．
654213312456654213312455654213213654456312213654543612216345
【巩固】右图是一个4?4的方格纸，请用六种不同的方法将它分割成完全相同的两部分，但要保持每个小方
格的完整．
【解析】 因为要分割成完全相同的两块，即大小、形状完全相同．方格纸一共有4?4?16(个)小格，所以分
成的两块每块有16?2?8(个)小格，并且这两块要关于中心点对称，大小和形状完全一样，应用染色法，从中心点的一侧入手染色，逐步推进．(建议教师同时呈现六幅空的4?4格图，不同的变化在不同的图上同时呈现)如下图：
7＇6＇5＇4＇8＇1＇2＇3＇812376546＇5＇4＇3＇781＇2＇218＇7＇34565＇6＇7＇8＇4＇1233＇1＇2＇48765
7＇6＇5＇4＇8＇21＇3＇312＇845678＇5＇4＇3＇16＇72＇27＇61＇3458
3＇4＇5＇6＇82＇1＇7＇7128＇6543
【例 8】 下图是一个被挖去了为总面积四分之一小正方形的大正方形，请你将它分成大小形状完全一样的四
部分．
【解析】 要求把阴影部分分成四个大小、形状都相同的四个图形，先不考虑形状，大小相同也就是面积相等，
也就是把整个图形的面积分成四份，分割后的每一部分占一份．考虑先把阴影部分分成12个小正方形再分成四份，这样每份正好有3个小正方形．再看形状，三个小正方形只能排成“－”形或者“∟”形．答案如下图．
【巩固】下图是一个被挖去了为总面积四分之一小正方形的大正方形，请你将它分成大小形状完全一样的两
部分．如果分三部分呢？
【解析】 从形状，面积两方面综合考虑，很容易就能得到答案．答案如右上图．
【巩固】图中是由三个正三角形组成的梯形．你能把它分割成4个形状相同、面积相等的梯形吗？
【解析】 这道题的要点在于通过计算解决问题，要求把原来三个正三角形分成四个大小、形状都相同的四个
梯形，先不考虑形状，大小相同也就是面积相等，即把整个梯形的面积分成四份，分割后的每一个梯形占一份，可以考虑把每一个三角形的面积分成四份，再把三个正三角形中的每一个小三角形合成要求的梯形，这种类型的题目可以从中点入手，找到每个正三角形的中点并连接，如右上图．
【例 9】 下图是由五个正方形组成的图形．把它分成形状、大小都相同的四个图形，应怎样分？