2011年浙江省杭州市中考数学试卷

AC=10,BD=6,已知点E,M是线段AB上的动点(不与端点重合),点O到EF,MN的距离分别为h1,h2,△OEF与△OGH组成的图形称为蝶形. (1)求蝶形面积S的最大值;

(2)当以EH为直径的圆与以MQ为直径的圆重合时,求h1与h2满足的关系式,并求h1的取值范围.

【分析】(1)由题意,得四边形ABCD是菱形,根据EF∥BD,求证△ABD∽△AEF,然后利用其对边成比例求得EF,然后利用三角形面积公式即可求得蝶形面积S的最大值.

(2)根据题意,得OE=OM.作OR⊥AB于R,OB关于OR对称线段为OS,①当点E,M不重合时,则OE,OM在OR的两侧,可知RE=RM.利用勾股定理求得BR,由ML∥EK∥OB,利用平行线分线段求得

即可知h1的取值范围;

②当点E,M重合时,则h1=h2,此时可知h1的取值范围. 【解答】解:(1)由题意,得四边形ABCD是菱形. ∵EF∥BD, ∴△ABD∽△AEF, ∴∴所以当

,即

时,.

(2)根据题意,得OE=OM.

如图,作OR⊥AB于R,OB关于OR对称线段为OS,

①当点E,M不重合时,则OE,OM在OR的两侧,易知RE=RM. ∵

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∴∴

由ML∥EK∥OB, 得即∴

∴,

,此时h1的取值范围为

且,

②当点E,M重合时,则h1=h2,此时h1的取值范围为0<h1<5.

【点评】此题主要考查相似三角形的判定与性质,勾股定理,菱形的判定与性质,轴对称的性质,中心对称,平行线分线段成比例等知识点,综合性强,有一定的拔高难度,属于难题.

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参与本试卷答题和审题的老师有:dbz1018;zcx;HJJ;冯延鹏;zjx111;zhangCF;73zzx;wangjc3;马兴田;lantin;bjy;nhx600;HLing;lanchong;gsls;fxx(排名不分先后) 菁优网

2017年3月6日

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