在球心处产生的电势为 dUO?dq4??0r??rdr， ?0?球心处的总电势为 UO??0R2R1?rdr??2(R2?R12)， 2?0R2 O rB 这就是A点的电势UA．
过B点作一球面，B的点电势是球面外的电荷和球面内的电荷共
同产生的．
球面外的电荷在B点产生的电势就等于这些电荷在球心处产生的电势，根据上面的推导可得
B R1 U1??2(R2?rB2)． 2?0球面内的电荷在B点产生的电势等于这些电荷集中在球心处在B点产生的电势．球壳在球面内的体积为
V?43?(rB?R13)， 包含的电量为 Q = ρV， 3这些电荷集中在球心时在B点产生的电势为 U2?Q4??0rB??3(rB?R13)． 3?0rBR13?22B点的电势为 UB = U1 + U2?(3R2?rB?2)．
6?0rB（2）A点的场强为 EA???UA?0． ?rA?UBR13?B点的场强为 EB???(rB?2)．
?rB3?0rB[讨论] 过空腔中A点作一半径为r的同心球形高斯面，由于面内没有电荷，根据高斯定
理，可得空腔中A点场强为 E = 0， (r≦R1)．
过球壳中B点作一半径为r的同心球形高斯面，面内球壳的体积为 V?包含的电量为 q = ρV，根据高斯定理得方程 4πr2E = q/ε0，
4?(r3?R13)， 3R13?可得B点的场强为E?(r?2)， (R1≦r≦R2)．
3?0r这两个结果与上面计算的结果相同．
在球壳外面作一半径为r的同心球形高斯面，面内球壳的体积为V?包含的电量为 q = ρV，根据高斯定理得可得球壳外的场强为
43?(R2?R13)， 33?(R2?R13)，(R2≦r)． E??224??0r3?0rq3?(R2?R13)R13?(r?2)dr??dr A点的电势为 UA??E?dl??Edr??0dr??23?r3?r0rR0R2rr??AAR1R2?A1 ??2(R2?R12)． 2?0??3?(R2?R13)R13?(r?2)dr??dr B点的电势为 UB??E?dl??Edr??23?r3?r0r0R2rrBBR2?BR13?22 ?(3R2?rB?2)．
6?0rBA和B点的电势与前面计算的结果相同．
14． 设圆柱形电容器的内、外圆筒半径分别为a、b．试证明电容器能量的一半储存在半径R?ab的圆柱体内．
[解答]设圆柱形电容器电荷线密度为λ，场强为E = λ/2πε0r，能量密度为 w = ε0E2/2， 体积元为 dV = 2πrldr，能量元为 dW = wdV．
在半径a到R的圆柱体储存的能量为
W??wdV??V?0V?2l?2lRdr?ln． EdV??24??0r4??0aa2R?2lb当R = b时，能量为W1?ln；
4??0a22?lb?lb当R?ab时，能量为W2?ln?ln，
4??0a8??0a所以W2 = W1/2，即电容器能量的一半储存在半径R?ab的圆柱体内．
14． 两个电容器，分别标明为200PF/500V和300PF/900V．把它们串联起来，等效电容多
大？如果两端加上1000V电压，是否会被击穿？ [解答]当两个电容串联时，由公式
111C2?C1CC， 得 C?12?120PF． ???CC1C2C1C2C1?C2加上U = 1000V的电压后，带电量为Q = CU，
第一个电容器两端的电压为U1 = Q/C1 = CU/C1 = 600(V)； 第二个电容器两端的电压为U2 = Q/C2 = CU/C2 = 400(V)．
由此可知：第一个电容器上的电压超过它的耐压值，因此会被击穿；当第一个电容器被击穿后，两极连在一起，全部电压就加在第二个电容器上，因此第二个电容器也接着被击穿． 17．长为b，宽为a的矩形线圈ABCD与无限长直截流导线共面，且线圈的长边平行于长
A B 直导线，线圈以速度v向右平动，t时刻基AD边距离长直导线为
B x；且长直导线中的电流按I = I0cosωt规律随时间变化，如图所
drr示．求回路中的电动势ε． v b[解答]电流I在r处产生的磁感应强度为B??0I2?r，
x D a C ?Ib穿过面积元dS = bdr的磁通量为d??BdS?0dr，
2?r穿过矩形线圈ABCD的磁通量为
图17.10
?0Ibx?a1?0Ibx?a??dr?ln()， ?2?xr2?x回路中的电动势为 ????bd?x?adI11dx??0[ln()?I(?)] dt2?xdtx?axdt??0I0bx?aavcos?t[?ln()sin?t?]． 2?xx(x?a)显然，第一项是由于磁场变化产生的感生电动势，第二项是由于线圈运动产生的动生电动势．
5．将一边长L=0.20m的正方形导电回路置于圆形区域的均匀磁场中。磁场方向垂直纸面
向里，磁感应强度以0.1T·s-1的变化率减小，如图所示。试求：（1） 整个回路内的感生电动势；（2）回路电阻为2Ω时回路中的感应电流。